1. **Énoncé du problème :** Déterminer les limites de la fonction $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x + 2}$ aux bornes de son ensemble de définition $]-\infty;-2[ \cup ]-2;+\infty[$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour une fonction rationnelle, les limites aux bornes du domaine peuvent être calculées en analysant le comportement du numérateur et du dénominateur. 3. **Calcul des limites :** - Limite en $x \to -2^-$ : $$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x + 2}$$ Le dénominateur tend vers 0 par valeurs négatives (car $x < -2$), donc $x+2 \to 0^-$. Calculons le numérateur en $x = -2$ : $$(-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + 1 = -8 + 4 - 2 + 1 = -5$$ Le numérateur tend vers $-5$. Donc la limite est : $$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \frac{-5}{0^-} = +\infty$$ - Limite en $x \to -2^+$ : Le dénominateur tend vers 0 par valeurs positives ($x > -2$), donc $x+2 \to 0^+$. Le numérateur tend toujours vers $-5$. Donc la limite est : $$\lim_{x \to -2^+} f(x) = \frac{-5}{0^+} = -\infty$$ - Limite en $x \to +\infty$ : On divise numérateur et dénominateur par $x$ (le terme de plus haut degré au dénominateur) : $$f(x) = \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x + 2} = \frac{x^3(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3})}{x(1 + \frac{2}{x})} = x^2 \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{2}{x}}$$ Quand $x \to +\infty$, les termes en $\frac{1}{x^k} \to 0$, donc $$f(x) \sim x^2 \to +\infty$$ - Limite en $x \to -\infty$ : Même raisonnement, $f(x) \sim x^2 \to +\infty$. **Résumé des limites :** $$\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$$ $$\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$$ $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty$$