1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $f(x) = \left(1 - \frac{1}{x}\right)e^x$ en $0^-$, $0^+$ et $+\infty$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour étudier les limites, on analyse le comportement de chaque facteur séparément et on applique les règles classiques des limites. 3. **Calcul de $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ :** $$f(x) = \left(1 - \frac{1}{x}\right)e^x$$ Quand $x \to 0^-$, $\frac{1}{x} \to -\infty$, donc $$1 - \frac{1}{x} \to +\infty$$ et $$e^x \to e^0 = 1$$ Ainsi, $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$$ 4. **Calcul de $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ :** Quand $x \to 0^+$, $\frac{1}{x} \to +\infty$, donc $$1 - \frac{1}{x} \to -\infty$$ et $$e^x \to 1$$ Donc, $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$$ 5. **Interprétation :** La fonction a une discontinuité infinie en $x=0$ avec une branche verticale asymptote, tendant vers $+\infty$ à gauche et $-\infty$ à droite. 6. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ :** Quand $x \to +\infty$, $$1 - \frac{1}{x} \to 1$$ et $$e^x \to +\infty$$ Donc, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ 7. **Interprétation :** La fonction croît très rapidement vers $+\infty$ quand $x$ devient très grand.