1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $g$ définie par $g(x) = x^2 - 1 + \ln(x)$ lorsque $x \to +\infty$ et $x \to 0^+$. 2. **Formules et règles importantes :** - La limite de $x^2$ quand $x \to +\infty$ est $+\infty$. - La limite de $\ln(x)$ quand $x \to 0^+$ est $-\infty$. - La limite de $\ln(x)$ quand $x \to +\infty$ est $+\infty$. 3. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ :** $$ \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x^2 - 1 + \ln(x)\right) $$ Comme $x^2$ croît plus vite que $\ln(x)$, on a : $$ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty $$ 4. **Calcul de $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ :** $$ \lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x^2 - 1 + \ln(x)\right) $$ On sait que $\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$, donc : $$ \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0 - 1 + (-\infty) = -\infty $$ **Réponse finale :** $$ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty $$