1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $g(x) = x^2 - 1 + \ln(x)$ lorsque $x \to 0^+$ et $x \to +\infty$. 2. **Formules et règles importantes :** - La limite de $\ln(x)$ quand $x \to 0^+$ est $-\infty$. - La limite de $\ln(x)$ quand $x \to +\infty$ est $+\infty$. - Les limites des fonctions polynomiales sont déterminées par le terme de plus haut degré. 3. **Calcul de $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ :** $$g(x) = x^2 - 1 + \ln(x)$$ Quand $x \to 0^+$, $x^2 \to 0$ et $\ln(x) \to -\infty$. Donc, $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0 - 1 + (-\infty) = -\infty$$ 4. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ :** Quand $x \to +\infty$, $x^2 \to +\infty$ et $\ln(x) \to +\infty$. Le terme dominant est $x^2$ qui tend vers $+\infty$. Donc, $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty - 1 + (+\infty) = +\infty$$ **Réponse finale :** $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$$