1. Calculer la limite de chaque suite donnée. 1. $u_n = \frac{n^2 + 2}{n^2 - 1}$ Calculons la limite quand $n \to +\infty$. On divise numérateur et dénominateur par $n^2$: $$u_n = \frac{1 + \frac{2}{n^2}}{1 - \frac{1}{n^2}} \to \frac{1+0}{1 - 0} = 1$$ 2. $u_n = \sqrt{n^2 - 3n}$ Factorisons sous la racine: $$u_n = \sqrt{n^2(1 - \frac{3}{n})} = n\sqrt{1 - \frac{3}{n}}$$ Quand $n \to +\infty$, $\sqrt{1 - \frac{3}{n}} \to 1$, donc $$u_n \sim n \to +\infty$$ 3. $u_n = \cos\left( \frac{n\pi}{2} \right)$ Les valeurs de $\cos(\frac{n\pi}{2})$ sont périodiques avec période 4: $$\cos(0) = 1, \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \cos(\pi) = -1, \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0, \cos(2\pi) = 1, \ldots$$ La suite n'a pas de limite. 4. $u_n = \frac{n^2 + 3\cos(n)}{-7n^2 + 2}$ Dominons par les termes en $n^2$: $$u_n = \frac{n^2(1 + \frac{3\cos(n)}{n^2})}{n^2(-7 + \frac{2}{n^2})} = \frac{1 + 0}{-7 + 0} = -\frac{1}{7}$$ 5. $u_n = 3\left(-\frac{1}{4}\right)^n$ On a $\left|-\frac{1}{4}\right| < 1$ donc $$\lim_{n\to+\infty} u_n = 3 \cdot 0 = 0$$ --- Exercice 2: Suite définie par: $$u_0 = \frac{1}{2}, \quad u_{n+1} = u_n - u_n^2$$ 1. Montrons $u_n \in [0,1]$ par récurrence. - Initialisation : $u_0 = \frac{1}{2} \in [0,1]$ - Hypothèse: pour un $n$, $0 \le u_n \le 1$ - Montrons pour $n+1$: $$u_{n+1} = u_n - u_n^2 = u_n(1 - u_n)$$ Since $0 \le u_n \le 1$, then $1 - u_n \ge 0$ and $u_{n+1} \ge 0$. Also, $u_{n+1} \le u_n \le 1$, so $u_{n+1} \in [0,1]$ 2. Montrons que la suite est décroissante (monotone). $$u_{n+1} - u_n = u_n(1 - u_n) - u_n = -u_n^2 \le 0$$ Donc la suite est décroissante. La suite est bornée et monotone, elle est donc convergente. 3. Déterminons la limite $\ell$. En passant à la limite dans $u_{n+1} = u_n - u_n^2$, on obtient: $$\ell = \ell - \ell^2 \Rightarrow \ell^2 = 0 \Rightarrow \ell = 0$$ --- Exercice 3: Suite définie par: $$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k}$$ Les sous-suites considérées sont: - $u_{2n} = \sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^k}{k}$ - $u_{2n+1} = \sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^k}{k}$ Ces deux sous-suites alternent, $(u_{2n})$ est croissante et $(u_{2n+1})$ décroissante, et elles convergent vers la même limite (car suite alternée de termes décroissants vers 0). Elles sont donc adjacentes par définition. --- Exercice 4: Suite définie par: $$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}, \quad n \ge 1$$ 1. On cherche $v_n$ et $w_n$ telles que $v_n \le u_n \le w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n$. Observons que: $$\frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$$ pour tout $1 \le k \le n$. Donc: $$n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \le u_n \le \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}$$ Prenons: $$v_n = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}}, \quad w_n = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}$$ 2. Calculons les limites: $$\lim_{n\to+\infty} v_n = \lim_{n\to+\infty} \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{1} = 1$$ De même: $$\lim_{n\to+\infty} w_n = 1$$ Par le théorème des gendarmes, on a: $$\lim_{n\to+\infty} u_n = 1$$ --- Exercice 5: Suite définie par: $$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{u_n + 2}, \quad u_0 = 0$$ 1. Montrons que $0 \le u_n < 2$. Par récurrence: - Initialisation: $u_0 = 0 \in [0,2[$ - Hypothèse: $0 \le u_n < 2$ - Montrons pour $n+1$: $$u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{u_n + 2} \ge 0 \text{ car numérateur et dénominateur } > 0$$ Pour majoration: $$u_{n+1} < 2 \iff 3u_n + 2 < 2(u_n + 2) \iff 3u_n + 2 < 2u_n + 4 \iff u_n < 2$$ Ce qui est vrai par hypothèse. 2. Étudions la monotonie. Calculons la différence: $$u_{n+1} - u_n = \frac{3u_n + 2}{u_n + 2} - u_n = \frac{3u_n + 2 - u_n(u_n + 2)}{u_n + 2} = \frac{3u_n + 2 - u_n^2 - 2u_n}{u_n + 2} = \frac{-u_n^2 + u_n + 2}{u_n + 2}$$ Le numérateur est $-u_n^2 + u_n + 2 = -(u_n^2 - u_n - 2) = -(u_n - 2)(u_n + 1)$. Pour $u_n \in [0,2[$, le produit $(u_n - 2)(u_n + 1) < 0$, donc le numérateur est positif. Ainsi $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est croissante. 3. Montrons que $$|u_{n+1} - 2| < \frac{1}{2}|u_n - 2|$$ On a: $$u_{n+1} - 2 = \frac{3u_n + 2}{u_n + 2} - 2 = \frac{3u_n + 2 - 2u_n - 4}{u_n + 2} = \frac{u_n - 2}{u_n + 2}$$ Donc: $$|u_{n+1} - 2| = \left|\frac{u_n - 2}{u_n + 2}\right| = \frac{|u_n - 2|}{u_n + 2}$$ Avec $0 \le u_n < 2$, on a $u_n + 2 \ge 2$, donc $$|u_{n+1} - 2| \le \frac{1}{2}|u_n - 2|$$ 4. Par récurrence, on obtient: $$|u_n - 2| < \left(\frac{1}{2}\right)^n |u_0 - 2|$$ 5. Comme $(\frac{1}{2})^n \to 0$, on a $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$$