1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de la suite $$u_n = \frac{\ln(n + \ln n)}{\ln(2n + \ln n)}$$ lorsque $n \to +\infty$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour des suites avec des logarithmes, on utilise que $\ln(a+b) \sim \ln a$ si $a \to +\infty$ et $b$ est négligeable devant $a$. 3. **Travail intermédiaire :** $$u_n = \frac{\ln\big(n + \ln n\big)}{\ln\big(2n + \ln n\big)} \sim \frac{\ln n}{\ln(2n)}$$ 4. On sait que $\ln(2n) = \ln 2 + \ln n$, donc $$u_n \sim \frac{\ln n}{\ln 2 + \ln n} = \frac{\ln n}{\ln n + \ln 2}$$ 5. Divisons numérateur et dénominateur par $\ln n$ : $$u_n = \frac{\cancel{\ln n}}{\cancel{\ln n} + \ln 2} = \frac{\cancel{\ln n}}{\cancel{\ln n} + \ln 2} = \frac{1}{1 + \frac{\ln 2}{\ln n}}$$ 6. Lorsque $n \to +\infty$, $\ln n \to +\infty$ donc $\frac{\ln 2}{\ln n} \to 0$. 7. **Conclusion :** $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{1 + 0} = 1$$ --- 1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de la suite $$u_n = \frac{n(-1)^{n+2}}{3n(-1)^{n+1}}$$ lorsque $n \to +\infty$. 2. **Travail intermédiaire :** $$u_n = \frac{n(-1)^{n+2}}{3n(-1)^{n+1}} = \frac{\cancel{n}(-1)^{n+2}}{3\cancel{n}(-1)^{n+1}} = \frac{(-1)^{n+2}}{3(-1)^{n+1}}$$ 3. Simplifions la puissance de $-1$ : $$\frac{(-1)^{n+2}}{(-1)^{n+1}} = (-1)^{(n+2)-(n+1)} = (-1)^1 = -1$$ 4. Donc $$u_n = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$$ 5. **Conclusion :** La suite est constante égale à $-\frac{1}{3}$, donc $$\lim_{n \to +\infty} u_n = -\frac{1}{3}$$ --- 1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de la suite $$u_n = \frac{\sqrt[3]{n} + 2\sqrt{n} + \sqrt{n} + \sqrt[3]{n}}{\sqrt[4]{n^2 + 3 + 2\sqrt{n+1}}}$$ lorsque $n \to +\infty$. 2. **Travail intermédiaire :** Simplifions le numérateur : $$\sqrt[3]{n} + 2\sqrt{n} + \sqrt{n} + \sqrt[3]{n} = 2\sqrt[3]{n} + 3\sqrt{n}$$ 3. Le dénominateur est $$\sqrt[4]{n^2 + 3 + 2\sqrt{n+1}}$$ Pour $n$ grand, $n^2$ domine, donc $$\sqrt[4]{n^2 + 3 + 2\sqrt{n+1}} \sim \sqrt[4]{n^2} = n^{\frac{2}{4}} = n^{\frac{1}{2}} = \sqrt{n}$$ 4. Donc $$u_n \sim \frac{2n^{\frac{1}{3}} + 3n^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{1}{2}}} = \frac{2n^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{1}{2}}} + \frac{3n^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{1}{2}}} = 2n^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}} + 3$$ 5. Calculons l'exposant : $$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$$ 6. Donc $$u_n \sim 2n^{-\frac{1}{6}} + 3 = \frac{2}{n^{\frac{1}{6}}} + 3$$ 7. Lorsque $n \to +\infty$, $\frac{2}{n^{\frac{1}{6}}} \to 0$. 8. **Conclusion :** $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$$