1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites des bornes de la fonction $f(x) = \frac{1}{n}(x + hm)$, étudier son sens de variation et dresser son tableau de variation. 2. **Calcul des limites :** - Limite en $x \to +\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{n}(x + hm) = +\infty$$ - Limite en $x \to -\infty$ : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{n}(x + hm) = -\infty$$ 3. **Montrer que $f(x) = \frac{1}{n}(x + hm)$ :** C'est donné, la fonction est une fonction affine de la forme $f(x) = a x + b$ avec $a = \frac{1}{n}$ et $b = \frac{hm}{n}$. 4. **Étude du sens de variation :** - La dérivée de $f$ est : $$f'(x) = \frac{1}{n}$$ - Comme $n > 0$, $f'(x) > 0$ donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 5. **Tableau de variation :** $$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & & +\infty \\ f'(x) & & + & & \\ f(x) & -\infty & \nearrow & & +\infty \\\end{array}$$ **Réponse finale :** - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.