1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par $g(x) = x^2 - 1 + \ln(x)$. 2. **Calcul des limites :** - Calcul de $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ : $$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 1 + \ln(x)) = +\infty$$ car $x^2$ domine $\ln(x)$. - Calcul de $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ : $$\lim_{x \to 0^+} (x^2 - 1 + \ln(x)) = -1 + \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$$ car $\ln(x) \to -\infty$ quand $x \to 0^+$. 3. **Étude du sens de variation :** - Dérivée de $g$ : $$g'(x) = 2x + \frac{1}{x}$$ - Étude du signe de $g'(x)$ sur $]0; +\infty[$ : $$g'(x) = \frac{2x^2 + 1}{x} > 0 \quad \forall x > 0$$ - Donc $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. 4. **Calcul de $g(1)$ :** $$g(1) = 1^2 - 1 + \ln(1) = 0 + 0 = 0$$ 5. **Inégalités à démontrer :** - Pour $x \geq 1$, $g(x) \geq g(1) = 0$ car $g$ est croissante. - Pour $x \in ]0;1]$, $g(x) \leq g(1) = 0$ car $g$ est croissante et $x < 1$. **Conclusion :** $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$$ $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty$$ $$g \text{ est strictement croissante sur } ]0; +\infty[,$$ $$g(1) = 0,$$ $$g(x) \geq 0 \text{ pour } x \geq 1,$$ $$g(x) \leq 0 \text{ pour } x \in ]0;1].$$