1. **Stel het probleem:** We willen de limiet onderzoeken van de functie $f(x)$ als $x$ naar $\pm\infty$ gaat, en bepalen of er een lineaire asymptoot van de vorm $y = ax + b$ bestaat. 2. **Formule en belangrijke regels:** De definitie van een lineaire asymptoot is dat $$\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax - b) = 0.$$ Dit betekent dat het verschil tussen $f(x)$ en de rechte lijn $ax + b$ naar nul gaat als $x$ heel groot of heel klein wordt. 3. **Afleiden van $a$:** We delen de uitdrukking door $x$ (voor $x \to \pm\infty$, $x \neq 0$): $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x) - ax - b}{x} = 0.$$ Dit kunnen we herschrijven als: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} - a - \frac{b}{x} = 0.$$ Omdat $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{b}{x} = 0$, volgt: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a.$$ Dus de richtingscoëfficiënt $a$ is de limiet van $\frac{f(x)}{x}$ als $x$ naar $\pm\infty$ gaat. 4. **Afleiden van $b$:** We herschrijven de oorspronkelijke limiet: $$\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax - b) = 0 \iff \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax) = b.$$ Hieruit volgt dat $b$ gelijk is aan de limiet van $f(x) - ax$ als $x$ naar $\pm\infty$ gaat. 5. **Samenvatting:** - $a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ - $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax)$ Deze stappen tonen aan hoe je de parameters $a$ en $b$ van de lineaire asymptoot kunt bepalen. **Antwoord:** De afleiding klopt en kan duidelijker en netter worden geschreven zoals hierboven.