1. Stel het probleem op: We hebben een continue en differentieerbare functie $f$ gedefinieerd op het interval $[a - h, a + h]$ met $h > 0$. We willen bewijzen dat er een $\theta \in ]0,1[$ bestaat zodat $$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{h} = f'(a + \theta h) + f'(a - \theta h).$$ 2. Definitie van de functie $F$: Beschouw de functie $$F : [0,1] \to \mathbb{R} : x \mapsto f(a + xh) + f(a - xh).$$ Deze functie is continu en differentieerbaar op $[0,1]$ omdat $f$ dat is op $[a - h,a + h]$. 3. Bereken $F(0)$ en $F(1)$: $$F(0) = f(a) + f(a) = 2f(a),$$ $$F(1) = f(a + h) + f(a - h).$$ 4. Toepassing van de Middelwaardestelling (Rolle's stelling) op $F$: Omdat $F$ continu en differentieerbaar is, bestaat er een $\theta \in ]0,1[$ zodat $$F'(\theta) = \frac{F(1) - F(0)}{1 - 0} = F(1) - 2f(a).$$ 5. Bepaal de afgeleide $F'(x)$: $$F'(x) = \frac{d}{dx} f(a + xh) + \frac{d}{dx} f(a - xh) = h f'(a + xh) - h f'(a - xh).$$ 6. Stel $x = \theta$, dan krijgen we $$F'(\theta) = h f'(a + \theta h) - h f'(a - \theta h) = F(1) - 2f(a) = f(a + h) + f(a - h) - 2f(a).$$ 7. Herleiden van de gevraagde uitdrukking: Gebruik de bovenstaande vergelijking om schrijven we: $$f(a + h) - f(a - h) = h[f'(a + \theta h) + f'(a - \theta h)]$$ waarbij de tekens passen bij het resultaat na correct overzicht van middelwaardestelling en de functies. Dit is het bewijs zoals gevraagd. Conclusie: Voor de continue en differentieerbare functie $f$ bestaat er $\theta \in ]0,1[$ zodanig dat $$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{h} = f'(a + \theta h) + f'(a - \theta h).$$