1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $F$ définie par $$F(x) = \int_{\cos x}^{\sin x} \sqrt{1 - t^2} \, dt$$ est $2\pi$-périodique. 2. **Rappel de la définition de la périodicité :** Une fonction $f$ est dite $T$-périodique si pour tout $x$ dans son domaine, on a $$f(x + T) = f(x).$$ Ici, il faut montrer que $F(x + 2\pi) = F(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 3. **Calcul de $F(x + 2\pi)$ :** $$F(x + 2\pi) = \int_{\cos(x + 2\pi)}^{\sin(x + 2\pi)} \sqrt{1 - t^2} \, dt.$$ Or, les fonctions trigonométriques $ \cos$ et $ \sin$ sont $2\pi$-périodiques, donc $$\cos(x + 2\pi) = \cos x \quad \text{et} \quad \sin(x + 2\pi) = \sin x.$$ Donc $$F(x + 2\pi) = \int_{\cos x}^{\sin x} \sqrt{1 - t^2} \, dt = F(x).$$ 4. **Conclusion :** La fonction $F$ est donc $2\pi$-périodique car elle satisfait la condition $F(x + 2\pi) = F(x)$ pour tout $x$. **Réponse finale :** $$\boxed{F \text{ est } 2\pi\text{-périodique}}$$