1. **Énoncé du problème :** Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ une fonction continue et strictement décroissante. Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in [0,1]$, on définit $h_n(x) = f(x) - \frac{x}{n}$. 2. **Vérification de $f(1) < 1$ et $f(0) > 0$ :** - Puisque $f$ est strictement décroissante sur $[0,1]$, on a $f(1) < f(0)$. - Or, $f(0) \in [0,1]$ et $f(1) \in [0,1]$. - Si $f(1) = 1$, alors $f(0) > 1$ ce qui est impossible car $f(0) \leq 1$. - Donc $f(1) < 1$. - De même, si $f(0) = 0$, alors $f(1) < 0$ ce qui est impossible car $f(1) \geq 0$. - Donc $f(0) > 0$. 3. **Existence de $\ell \in [0,1]$ tel que $f(\ell) = \ell$ :** - Considérons la fonction $g(x) = f(x) - x$ sur $[0,1]$. - $g$ est continue car $f$ est continue. - Calculons $g(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0$. - Calculons $g(1) = f(1) - 1 < 0$. - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\ell \in [0,1]$ tel que $g(\ell) = 0$, donc $f(\ell) = \ell$. 4. **a) Montrer que $h_n$ est strictement décroissante sur $[0,1]$ :** - $f$ est strictement décroissante. - La fonction $x \mapsto \frac{x}{n}$ est strictement croissante. - Donc $h_n(x) = f(x) - \frac{x}{n}$ est la différence d'une fonction strictement décroissante et d'une fonction strictement croissante. - Ainsi, $h_n$ est strictement décroissante. 4. **b) Existence et unicité de $x_n \in [0,1]$ tel que $f(x_n) = \frac{x_n}{n}$ :** - Considérons $h_n(x) = f(x) - \frac{x}{n}$. - $h_n$ est continue et strictement décroissante. - Calculons $h_n(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0$. - Calculons $h_n(1) = f(1) - \frac{1}{n} < 1 - \frac{1}{n} \leq 0$ car $f(1) < 1$. - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $x_n \in [0,1]$ tel que $h_n(x_n) = 0$, donc $f(x_n) = \frac{x_n}{n}$. 4. **c) Montrer que $0 < x_n < 1$ :** - Supposons $x_n = 0$, alors $f(0) = 0$ ce qui contredit $f(0) > 0$. - Supposons $x_n = 1$, alors $f(1) = \frac{1}{n} > 0$ mais $f(1) < 1$, donc $\frac{1}{n} < 1$ est vrai mais on doit vérifier si $h_n(1) = 0$. - Or $h_n(1) = f(1) - \frac{1}{n} < 0$ donc $x_n \neq 1$. - Donc $0 < x_n < 1$. 5. **Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $h_{n+1}(x_n) > 0$ :** - $h_{n+1}(x_n) = f(x_n) - \frac{x_n}{n+1}$. - Or $f(x_n) = \frac{x_n}{n}$. - Donc $h_{n+1}(x_n) = \frac{x_n}{n} - \frac{x_n}{n+1} = x_n \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = x_n \frac{1}{n(n+1)} > 0$ car $x_n > 0$. 6. **En déduire que la suite $(x_n)_{n \geq 1}$ est croissante :** - $h_n$ est strictement décroissante. - $h_n(x_n) = 0$. - $h_{n+1}(x_n) > 0$. - Comme $h_{n+1}$ est strictement décroissante, pour que $h_{n+1}(x_{n+1})=0$, il faut que $x_{n+1} > x_n$. - Donc $(x_n)$ est strictement croissante. 7. **Montrer que la suite $(x_n)_{n \geq 1}$ est convergente :** - $(x_n)$ est croissante et bornée dans $[0,1]$. - Par le théorème de convergence des suites monotones, $(x_n)$ converge vers une limite $\alpha \in [0,1]$. 8. **Justifier que $\lim_{n \to +\infty} \frac{x_n}{n} = f(\alpha)$ :** - Par définition, $f(x_n) = \frac{x_n}{n}$. - $f$ est continue, donc $\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = f(\alpha)$. - Or $\lim_{n \to +\infty} \frac{x_n}{n} = \lim_{n \to +\infty} f(x_n) = f(\alpha)$. 9. **Montrer que $\alpha = 1$ :** - $\lim_{n \to +\infty} \frac{x_n}{n} = 0$ car $x_n \leq 1$ donc $\frac{x_n}{n} \to 0$. - Donc $f(\alpha) = 0$. - $f$ est strictement décroissante, donc $f(1) < f(\alpha) = 0$ est impossible car $f(1) \geq 0$. - La seule possibilité est $\alpha = 1$ car $f(1) < 1$ et $f(1) \geq 0$. **Réponse finale :** $\boxed{\alpha = 1}$