1. Énonçons le problème : déterminer si la série $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n + 2^n + 3^n}{5^n}$$ converge ou diverge. 2. Rappelons la règle importante : pour une série de la forme $$\sum a_n$$, si $$\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$$, la série diverge. Sinon, on peut utiliser des tests de convergence comme le test de comparaison ou le test de la racine. 3. Étudions le terme général $$a_n = \frac{1^n + 2^n + 3^n}{5^n} = \frac{1 + 2^n + 3^n}{5^n}$$. 4. Pour de grandes valeurs de $$n$$, le terme dominant au numérateur est $$3^n$$ car $$3^n > 2^n > 1$$. 5. Donc, approximons $$a_n \approx \frac{3^n}{5^n} = \left(\frac{3}{5}\right)^n$$. 6. La série devient comparable à $$\sum \left(\frac{3}{5}\right)^n$$, qui est une série géométrique de raison $$r = \frac{3}{5}$$. 7. Puisque $$|r| = \frac{3}{5} < 1$$, la série géométrique converge. 8. Par le test de comparaison, la série initiale converge aussi. Réponse finale : La série $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n + 2^n + 3^n}{5^n}$$ converge.