Serie Equivalence Cc7B05

1. **Énoncé du problème :** On considère la série \(\sum_{n \geq 1} u_n\) avec \(u_n = \frac{1}{n(n+1)}\). 2. **Montrer que \((u_n)\) et \(\left(\frac{1}{n^2}\right)\) sont équivalentes au voisinage de \(+\infty\) :** On compare \(u_n = \frac{1}{n(n+1)}\) et \(\frac{1}{n^2}\). Calculons le rapport : $$\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n(n+1)}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n(n+1)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1$$ Donc, \(u_n \sim \frac{1}{n^2}\) quand \(n \to +\infty\). 3. **Nature de la série \(\sum u_n\) :** La série \(\sum \frac{1}{n^2}\) est convergente (série p avec \(p=2>1\)), donc par équivalence, \(\sum u_n\) est aussi convergente. 4. **Vérification de la décomposition en éléments simples :** Montrons que $$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$ Calcul : $$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{n+1 - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$$ 5. **Calcul de la somme partielle \(S_n = \sum_{k=1}^n u_k\) :** On a $$S_n = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$ C'est une somme télescopique, donc $$S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$ 6. **Limite de la somme partielle et somme de la série :** $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = 1$$ Donc $$\sum_{n=1}^{+\infty} u_n = 1$$ 7. **Nature des séries suivantes :** a) Série \(\sum_{n \geq 0} \left(\frac{3e^n + 1}{2e^n + 3}\right)^n\) On applique la règle de Cauchy (racine n-ième) : $$a_n = \left(\frac{3e^n + 1}{2e^n + 3}\right)^n$$ Calculons $$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3e^n + 1}{2e^n + 3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3 + \frac{1}{e^n}}{2 + \frac{3}{e^n}} = \frac{3}{2} > 1$$ Donc la série diverge. b) Série \(\sum_{n \geq 0} \frac{n^2}{(n+1)!}\) On applique la règle de D’Alembert : $$a_n = \frac{n^2}{(n+1)!}$$ Calculons $$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)^2 / (n+2)!}{n^2 / (n+1)!} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)^2}{(n+2)!} \times \frac{(n+1)!}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} \times \frac{1}{n+2} = \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \times \frac{1}{n+2} = 0 < 1$$ Donc la série converge. **Résumé final :** - \(\sum u_n\) converge et sa somme vaut 1. - La série a) diverge. - La série b) converge.