1. **Problème 1 : Série entière** Soit la série entière $$\sum_{n\geq 1} \frac{x^n}{n(n+2)}$$ et $f$ sa somme. (a) **Rayon de convergence** 1. On utilise le critère de d'Alembert : $$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$ avec $$a_n = \frac{x^n}{n(n+2)}$$. 2. Calcul : $$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{x^{n+1}}{(n+1)(n+3)} \cdot \frac{n(n+2)}{x^n} \right| = |x| \cdot \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)} \xrightarrow[n\to\infty]{} |x|$$ 3. La série converge si $$|x| < 1$$, donc le rayon de convergence est $$R=1$$. (b) **Calcul de $f'$ et expression de $f$** 1. On dérive terme à terme : $$f'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n x^{n-1}}{n(n+2)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n+2} = \sum_{m=0}^\infty \frac{x^m}{m+3}$$ 2. On remarque que $$x^2 f'(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{m+2}}{m+3} = \sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n+1}$$ 3. En combinant et intégrant, on trouve $$f(x) = \frac{1}{2} + \frac{1-x}{x^2} \ln(1-x)$$ (c) **Décomposition en éléments simples** 1. On écrit $$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$$ 2. En multipliant par $n(n+2)$ : $$1 = A(n+2) + Bn = (A+B)n + 2A$$ 3. En identifiant les coefficients : $$A + B = 0, \quad 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}, B = -\frac{1}{2}$$ 4. Donc $$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$$ 5. Cette décomposition permet d'écrire la série comme une série télescopique et de retrouver $f$. 2. **Problème 2 : Équation différentielle (E)** $$x y''(x) + 2 y'(x) + x y(x) = 0$$ 3. **Problème 3 : Développement en série entière de $\sin(x)$** $$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ 4. **Problème 4 : Solution en série entière de (E)** Soit $$y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$$ avec $$a_0=1$$. (a) Montrer que $$a_1 = 0, \quad a_n = - \frac{a_{n-2}}{n(n+1)}, \quad n \geq 2$$ 1. En substituant dans (E) et identifiant les coefficients, on obtient la relation de récurrence. (b) Expression explicite de $a_n$ : 1. Pour $n$ impair, $a_n=0$ car $a_1=0$ et la relation lie $a_n$ à $a_{n-2}$. 2. Pour $n=2k$ pair, $$a_{2k} = (-1)^k \frac{a_0}{\prod_{j=1}^k (2j)(2j+1)} = (-1)^k \frac{1}{(2k)!/(k!)}$$ 5. **Problème 5 : Rayon de convergence de la solution de (E)** 1. Le rayon est infini car la série est de type série entière de fonctions trigonométriques (comme $\sin$ et $\cos$). 6. **Problème 6 : Solutions explicites de (E)** 1. Les solutions sont des combinaisons linéaires de séries entières associées à $\sin(x)/x$ et $\cos(x)$. --- **Exercice 2 : Série de Fourier** 1. Fonction $f(x) = x(\pi - x)$ définie sur $[0, \pi]$, étendue en fonction $2\pi$-périodique et impaire. 2. La série de Fourier est uniquement en sinus : $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(nx)$$ avec $$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x(\pi - x) \sin(nx) dx$$ 3. La convergence est uniforme sur $\mathbb{R}$ car $f$ est continue et de classe $C^1$ par morceaux. 4. Sommes demandées : $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} = -\frac{\pi^3}{32}$$ $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)^6} = \frac{\pi^6}{960}$$ --- **Exercice 3 : Séries avec $u_n = \frac{1}{n^\alpha (\log n)^\beta}$** 1. Étude de la nature de la série $\sum_{n\geq 2} u_n$. (a) Cas $\alpha=2$, $\beta=-1$ : $u_n = \frac{\log n}{n^2}$ converge absolument car $\sum \frac{1}{n^{2-\epsilon}}$ converge. (b) Cas $\alpha=\frac{1}{2}$, $\beta=2$ : $u_n = \frac{1}{\sqrt{n} (\log n)^2}$ diverge car $\sum \frac{1}{n^{1/2}}$ diverge même avec facteur logarithmique. 2. (a) Si $\alpha < 0$, $u_n$ ne tend pas vers 0, donc la série diverge. (b) Si $0 < \alpha < 1$, la série diverge car $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ diverge. (c) Si $\alpha > 1$, la série converge absolument.