1. **Énoncé du problème :** Étudier la série $\sum_{n \geq 1} u_n$ avec $u_n = \frac{1}{n(n+1)}$. 2. **Montrer que $(u_n)$ et $\left(\frac{1}{n^2}\right)$ sont équivalentes en $+\infty$ :** On compare $u_n = \frac{1}{n(n+1)}$ et $v_n = \frac{1}{n^2}$. Calculons le rapport : $$\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n(n+1)}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n(n+1)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = 1.$$ Donc $u_n \sim v_n$ en $+\infty$. 3. **Nature de la série $\sum u_n$ :** La série $\sum \frac{1}{n^2}$ est convergente (série p avec $p=2>1$), donc $\sum u_n$ est aussi convergente par équivalence. 4. **Vérification de la décomposition en éléments simples :** Montrons que $$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.$$ En mettant au même dénominateur : $$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{n+1 - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}.$$ 5. **Calcul de la somme partielle $S_n = \sum_{k=1}^n u_k$ :** $$S_n = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right).$$ C'est une somme télescopique, donc $$S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.$$ 6. **Limite de la somme partielle :** $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} = 1.$$ Donc $$\sum_{n=1}^{+\infty} u_n = 1.$$ --- 7. **Nature des séries suivantes :** **a. Série $\sum_{n \geq 0} \left(\frac{3e^n + 1}{2e^n + 3}\right)^n$** On applique la règle de Cauchy (racine n-ième) : $$a_n = \left(\frac{3e^n + 1}{2e^n + 3}\right)^n,$$ Calculons $$\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3e^n + 1}{2e^n + 3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3 + \frac{1}{e^n}}{2 + \frac{3}{e^n}} = \frac{3}{2} > 1.$$ Donc la série diverge. **b. Série $\sum_{n \geq 0} \frac{n^2}{(n+1)!}$** On applique la règle de D’Alembert : $$a_n = \frac{n^2}{(n+1)!},$$ Calculons $$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)^2}{(n+2)!} \times \frac{(n+1)!}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} \times \frac{1}{n+2} = \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \times \frac{1}{n+2} = 0 < 1.$$ Donc la série converge. --- **Réponses finales :** - $\sum u_n$ converge et vaut 1. - La série $\sum \left(\frac{3e^n + 1}{2e^n + 3}\right)^n$ diverge. - La série $\sum \frac{n^2}{(n+1)!}$ converge.