1. **Énoncé du problème :** Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction $$f(x) = \ln(1 + x - 2x^2)$$. 2. **Formule utilisée :** La série de Taylor au voisinage de 0 pour $$\ln(1+u)$$ est $$\ln(1+u) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{u^k}{k} = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} + \cdots$$ 3. **Application :** Posons $$u = x - 2x^2$$. Nous allons développer $$\ln(1+u)$$ en série en remplaçant $$u$$ par $$x - 2x^2$$. 4. **Calcul des premiers termes :** - Premier terme : $$u = x - 2x^2$$ - Deuxième terme : $$-\frac{u^2}{2} = -\frac{(x - 2x^2)^2}{2} = -\frac{x^2 - 4x^3 + 4x^4}{2} = -\frac{x^2}{2} + 2x^3 - 2x^4$$ - Troisième terme : $$\frac{u^3}{3} = \frac{(x - 2x^2)^3}{3}$$ 5. **Développement de $$u^3$$ :** $$u^3 = (x - 2x^2)^3 = x^3 - 3 \times 2 x^4 + \text{termes d'ordre supérieur} = x^3 - 6x^4 + \cdots$$ Donc, $$\frac{u^3}{3} = \frac{x^3 - 6x^4 + \cdots}{3} = \frac{x^3}{3} - 2x^4 + \cdots$$ 6. **Somme des termes jusqu'à l'ordre 4 :** $$f(x) \approx (x - 2x^2) - \left(\frac{x^2}{2} - 2x^3 + 2x^4\right) + \left(\frac{x^3}{3} - 2x^4\right)$$ 7. **Simplification :** $$f(x) \approx x - 2x^2 - \frac{x^2}{2} + 2x^3 - 2x^4 + \frac{x^3}{3} - 2x^4$$ Regroupons par puissances : - Coefficient de $$x$$ : $$1$$ - Coefficient de $$x^2$$ : $$-2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$$ - Coefficient de $$x^3$$ : $$2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$ - Coefficient de $$x^4$$ : $$-2 - 2 = -4$$ 8. **Résultat final :** $$\boxed{f(x) = x - \frac{5}{2}x^2 + \frac{7}{3}x^3 - 4x^4 + \cdots}$$ Cette série donne le développement en série entière de $$\ln(1 + x - 2x^2)$$ au voisinage de 0.