### Exercice 1 : expliciter la somme partielle et donner la nature des séries numériques 1. Soit $u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$, $n \in \mathbb{N}^*$. 1.1 Décomposer en fractions partielles: $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}$$ Trouvons $A, B, C$ en résolvant l'équation: $$1 = A(n+1)(n+2) + B n(n+2) + C n(n+1)$$ Posons $n=-1:\;1=A0 \Rightarrow$ pas utile, essayons $n=0:\;1 = A(1)(2) = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$, $n = -2:\; 1 = C(-2)(-1) = 2C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$, $n = -1:\; 1 = B(-1)(1) = -B \Rightarrow B = -1$. Ainsi: $$u_n = \frac{1/2}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}$$ 1.2 La somme partielle $S_N = \sum_{n=1}^N u_n$ s'écrit: $$S_N = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+2}$$ En réarrangeant et en utilisant la propriété des sommes harmoniques $H_m = \sum_{k=1}^m \frac{1}{k}$: $$S_N = \frac{1}{2} H_N - (H_{N+1} - 1) + \frac{1}{2} (H_{N+2} - H_2)$$ Simplifions: $$S_N = \frac{1}{2} H_N - H_{N+1} + 1 + \frac{1}{2} H_{N+2} - \frac{1}{2} H_2$$ Utilisez $H_{N+2} = H_{N+1} + \frac{1}{N+2}$ et $H_2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$: $$S_N = \frac{1}{2} H_N - H_{N+1} + 1 + \frac{1}{2} (H_{N+1} + \frac{1}{N+2}) - \frac{3}{4}$$ $$= \frac{1}{2} H_N - \frac{1}{2} H_{N+1} + 1 - \frac{3}{4} + \frac{1}{2(N+2)}$$ Puis, $$H_{N+1} = H_N + \frac{1}{N+1}$$ donne $$S_N = \frac{1}{2}H_N - \frac{1}{2} (H_N + \frac{1}{N+1}) + \frac{1}{4} + \frac{1}{2(N+2)} = -\frac{1}{2(N+1)} + \frac{1}{2(N+2)} + \frac{1}{4}$$ Ce qui tend vers $\frac{1}{4}$ quand $N \to \infty$. 1.3 Conclusion : la série converge et sa somme est $\lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{4}$. 2. Pour $u_n = \frac{2}{n}$, la série $\sum u_n = 2 \sum \frac{1}{n}$ est la série harmonique multipliée par 2, qui diverge. 3. Pour $u_n = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$, la somme partielle: $$S_N = \sum_{n=1}^N \ln \left( \frac{n+1}{n} \right) = \ln \prod_{n=1}^N \frac{n+1}{n} = \ln (N+1)$$ Ainsi, $S_N \to \infty$ quand $N \to \infty$, donc la série diverge. ### Exercice 2 : nature des séries numériques 1. $u_n = \frac{(n!)^2}{2n^2}$ La croissance de $(n!)^2$ domine toute puissance, donc $u_n \to \infty$, la série diverge. 2. $u_n = \left( n \left(1 - \cos \frac{1}{n} \right) + c \right)^n$, $c \in \mathbb{R}^+$ Comme $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ quand $x \to 0$, on a: $$n (1 - \cos \frac{1}{n}) \sim n \frac{1}{2 n^2} = \frac{1}{2n} \to 0$$ Donc terme général tend vers $c^n$. La série diverge si $c\ge1$, converge sinon. 3. $u_n = \frac{1}{n + \ln \left( \frac{n-1}{n} \right)}$ avec $n>2$ Comme $\ln \frac{n-1}{n} = \ln (1 - \frac{1}{n}) \sim -\frac{1}{n}$, $$u_n \sim \frac{1}{n - \frac{1}{n}} = \frac{1}{n} + o(\frac{1}{n})$$ Donc série similaire à la série harmonique qui diverge. 4. $u_n = (\ln n)^{-\ln n}$ Posons $a_n = \ln n$, alors $u_n = e^{-\ln n \ln(\ln n)} = e^{-\ln n \ln(\ln n)}$, cette expression tend très rapidement vers 0. La série converge car le terme général décroit plus vite que toute puissance de $n$. 5. $u_n = \frac{\sin \frac{1}{n} - \frac{1}{n}}{n^2 + 1}$ Puisque $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$, $$\sin \frac{1}{n} - \frac{1}{n} \sim -\frac{1}{6 n^3}$$ Par conséquent, $$u_n \sim \frac{-\frac{1}{6 n^3}}{n^2} = -\frac{1}{6 n^5}$$ La série converge absolument (série de p avec $p=5 >1$). 6. $u_n = \left( \cos \sqrt{\frac{1}{n}} \right)^n$ Avec $\sqrt{\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$, et $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$, $$\cos \frac{1}{\sqrt{n}} = 1 - \frac{1}{2 n} + o(\frac{1}{n})$$ Donc: $$u_n = \left( 1 - \frac{1}{2 n} + o(\frac{1}{n}) \right)^n \sim e^{-\frac{1}{2}} \neq 0$$ La série diverge car terme général ne tend pas vers 0. 7. $u_n = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n+4}$ Rationnaliser le numérateur: $$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \sim \frac{1}{2\sqrt{n}}$$ Donc, $$u_n \sim \frac{1}{2 \sqrt{n} (n+4)} \sim \frac{1}{2 n^{3/2}}$$ La série converge (p-série avec $p=\frac{3}{2}>1$). 8. $u_n = (-1)^n \ln \frac{n}{n}$ Notons que $\frac{n}{n} = 1$, donc $\ln 1 = 0$, donc $u_n=0$ pour tout $n$, la série converge trivialement. ### Exercice 3 Soit $u_n = \left( \frac{\pi}{2} \right)^\alpha - (\arctan n)^\alpha$, $\alpha \in \mathbb{R}$ 1. Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}_+^*$, $$\arctan x = \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{x}$$ Indication : considérez la fonction: $$f(x) = \arctan x + \arctan \frac{1}{x}$$ Calculons $f'(x)$ pour $x > 0$: $$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} = 0$$ Donc $f$ est constante sur $\mathbb{R}_+^*$. Puisqu'en $x=1$, $f(1) = \arctan 1 + \arctan 1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, donc: $$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \arctan x = \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{x}$$ 2. En déduire la nature de la série $\sum_{n=1}^\infty u_n$ En utilisant l'identité, $$u_n = \left( \frac{\pi}{2} \right)^\alpha - \left( \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{n} \right)^\alpha$$ Pour $n$ grand, $ \arctan \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} $, donc $$u_n \sim \left( \frac{\pi}{2} \right)^\alpha - \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{n} \right)^\alpha \approx \left( \frac{\pi}{2} \right)^\alpha - \left( \frac{\pi}{2} \right)^\alpha \left(1 - \frac{2}{\pi n} \right)^\alpha$$ $$\approx \left( \frac{\pi}{2} \right)^\alpha \left(1 - \left(1 - \frac{2 \alpha}{\pi n} \right) \right) = \left( \frac{\pi}{2} \right)^\alpha \frac{2 \alpha}{\pi n} = C \frac{1}{n}$$ Pour constante $C = 2 \alpha \left( \frac{\pi}{2} \right)^{\alpha - 1}$. Ainsi $u_n$ est asymptotique à une constante fois $\frac{1}{n}$. La série converge si et seulement si $\alpha = 0$ (car $p$-série avec $p = 1$ diverge) sinon diverge. ### Exercice 4 Soit $u_n = \frac{(-1)^n}{2 n^3 + 1}$ 1. Montrer que la série converge. La série est alternée avec $|u_n| = \frac{1}{2 n^3 + 1}$ décroissante vers 0. D'après le critère de Leibniz, elle converge. 2. Majoration du reste $R_n = |S - S_n|$ (reste après somme partielle $n$): $$|R_n| \leq |u_{n+1}| = \frac{1}{2 (n+1)^3 + 1} \leq \frac{1}{2 (n+1)^3}$$ 3. Proposition de démarche: Pour approximer la somme avec une erreur au plus $\varepsilon$, choisissez $N$ tel que $$\frac{1}{2 (N+1)^3} < \varepsilon$$ puis calculez la somme partielle jusqu'à $N$. Final answer: Les convergences et natures pour chaque série sont détaillées ci-dessus.