1. Énoncé du problème : Nous avons la dérivée $f'(x) = 9\left(x+\frac{5}{9}\right)(x-1)$. Nous devons déterminer le signe de $f'(x)$ en utilisant sa forme factorisée. 2. Rappel de la règle : Le signe d'un produit est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, et négatif si ce nombre est impair. 3. Étude des facteurs : - Le facteur $9$ est toujours positif. - Le facteur $\left(x+\frac{5}{9}\right)$ change de signe en $x = -\frac{5}{9}$. - Le facteur $(x-1)$ change de signe en $x = 1$. 4. Analyse par intervalles : - Pour $x < -\frac{5}{9}$, $x+\frac{5}{9} < 0$ et $x-1 < 0$, donc deux facteurs négatifs, produit positif. - Pour $-\frac{5}{9} < x < 1$, $x+\frac{5}{9} > 0$ et $x-1 < 0$, donc un facteur négatif, produit négatif. - Pour $x > 1$, $x+\frac{5}{9} > 0$ et $x-1 > 0$, donc aucun facteur négatif, produit positif. 5. Conclusion : Le signe de $f'(x)$ est : $$ \begin{cases} + & \text{si } x < -\frac{5}{9} \\ - & \text{si } -\frac{5}{9} < x < 1 \\ + & \text{si } x > 1 \end{cases} $$