1. Énonçons le problème : On doit déterminer le signe de la dérivée $f'(x)$ à partir de sa forme factorisée. 2. Rappel : La forme factorisée de $f'(x)$ est souvent donnée sous la forme $$f'(x) = k \times (x - a)^m \times (x - b)^n \times \ldots$$ où $k$ est un coefficient constant, et $a,b,\ldots$ sont les racines de $f'(x)$. 3. Pour déterminer le signe de $f'(x)$, on étudie le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par les racines. 4. Important : Si la forme factorisée contient une fraction, par exemple $$f'(x) = \frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)}$$, on doit aussi considérer le signe du dénominateur. 5. Étapes pour le cas avec fraction : - Identifier les racines du numérateur et du dénominateur. - Étudier le signe de chaque facteur (numérateur et dénominateur) sur les intervalles. - Le signe de $f'(x)$ est le produit du signe du numérateur par le signe du dénominateur. 6. Exemple : Soit $$f'(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 3)}$$. - Racines du numérateur : $x=2$ et $x=-1$. - Racine du dénominateur : $x=3$ (point d'interdiction). 7. Étudions le signe sur les intervalles : $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$, $(2, 3)$, $(3, +\infty)$. 8. Sur chaque intervalle, on détermine le signe de chaque facteur : - $(x-2)$ est négatif avant 2, positif après. - $(x+1)$ est négatif avant -1, positif après. - $(x-3)$ est négatif avant 3, positif après. 9. Calcul du signe de $f'(x)$ : - Sur $(-\infty, -1)$ : numérateur $( - \times - ) = +$, dénominateur $-$, donc $f'(x) = + \times - = -$. - Sur $(-1, 2)$ : numérateur $( + \times - ) = -$, dénominateur $-$, donc $f'(x) = - \times - = +$. - Sur $(2, 3)$ : numérateur $( + \times + ) = +$, dénominateur $-$, donc $f'(x) = + \times - = -$. - Sur $(3, +\infty)$ : numérateur $( + \times + ) = +$, dénominateur $+$, donc $f'(x) = + \times + = +$. 10. Conclusion : Le signe de $f'(x)$ change aux racines et aux points où le dénominateur s'annule (discontinuités).