1. Énonçons le problème : On veut utiliser la forme factorisée de la dérivée $f'(x)$ pour déterminer le signe de $f'(x)$. 2. Rappel : La dérivée $f'(x)$ peut souvent s'écrire sous forme factorisée, par exemple $$f'(x) = (x - a)(x - b)\ldots$$ où $a$, $b$, etc. sont les racines de $f'(x)$. 3. Pour déterminer le signe de $f'(x)$, on étudie le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par les racines. 4. Exemple : Si $$f'(x) = (x - 2)(x + 3)$$ alors les racines sont $x=2$ et $x=-3$. 5. On divise la droite réelle en intervalles : $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$, $(2, +\infty)$. 6. Sur chaque intervalle, on choisit un point test et on calcule le signe de chaque facteur : - Pour $x < -3$, $(x-2)<0$ et $(x+3)<0$ donc $f'(x) = (-)(-) = +$. - Pour $-3 < x < 2$, $(x-2)<0$ et $(x+3)>0$ donc $f'(x) = (-)(+) = -$. - Pour $x > 2$, $(x-2)>0$ et $(x+3)>0$ donc $f'(x) = (+)(+) = +$. 7. Ainsi, le signe de $f'(x)$ est positif sur $(-\infty, -3)$, négatif sur $(-3, 2)$, et positif sur $(2, +\infty)$. 8. Conclusion : La forme factorisée permet de déterminer facilement le signe de la dérivée en étudiant le signe de chaque facteur sur les intervalles définis par les racines.