1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la somme partielle $S_n = U_0 + U_1 + \cdots + U_{n-1}$ vérifie l'inégalité $$S_n \geq 4n - 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$$ 2. **Rappel des définitions et résultats utiles :** - La suite $(U_n)$ est définie par $U_0 = 2$ et $U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{U_n}$. - On a montré précédemment que $2 \leq U_n \leq 4$. - On a aussi la relation $4 - U_{n+1} \leq \frac{1}{2}(4 - U_n)$. 3. **Étude de la relation sur $4 - U_n$ :** Posons $V_n = 4 - U_n$. La relation devient $$V_{n+1} \leq \frac{1}{2} V_n.$$ Par récurrence, on a $$V_n \leq 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n.$$ 4. **Expression de $U_n$ en fonction de $V_n$ :** $$U_n = 4 - V_n \geq 4 - 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n.$$ 5. **Calcul de la somme $S_n$ :** $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} U_k \geq \sum_{k=0}^{n-1} \left(4 - 2 \left(\frac{1}{2}\right)^k \right) = \sum_{k=0}^{n-1} 4 - 2 \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^k.$$ 6. **Simplification des sommes :** - La somme constante : $$\sum_{k=0}^{n-1} 4 = 4n.$$ - La somme géométrique : $$\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right).$$ 7. **Substitution dans $S_n$ :** $$S_n \geq 4n - 2 \times 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) = 4n - 4 + 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n.$$ 8. **Réécriture finale :** $$S_n \geq 4n - 4 + 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 4n - 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$$ (On a utilisé $2 \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.) **Conclusion :** L'inégalité demandée est démontrée.