1. **Énoncé du problème :** Calculer la somme de la série de terme général $$u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}, n \geq 1$$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour calculer la somme d'une série à termes rationnels, on peut souvent utiliser la décomposition en fractions partielles. 3. **Décomposition en fractions partielles :** On cherche des constantes $A$, $B$, $C$ telles que $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}.$$ 4. **Calcul des coefficients :** Multiplions par $n(n+1)(n+2)$ : $$1 = A(n+1)(n+2) + B n (n+2) + C n (n+1).$$ Développons : $$1 = A(n^2 + 3n + 2) + B(n^2 + 2n) + C(n^2 + n).$$ 5. **Regroupons par puissances de $n$ :** $$1 = (A + B + C) n^2 + (3A + 2B + C) n + 2A.$$ 6. **Équations pour les coefficients :** Pour que l'égalité soit vraie pour tout $n$, les coefficients doivent satisfaire : $$\begin{cases} A + B + C = 0 \\ 3A + 2B + C = 0 \\ 2A = 1 \end{cases}$$ 7. **Résolution :** De $2A=1$, on obtient $A=\frac{1}{2}$. Substituons dans les deux autres : $$\begin{cases} \frac{1}{2} + B + C = 0 \\ 3 \times \frac{1}{2} + 2B + C = 0 \end{cases}$$ Soit $$\begin{cases} B + C = -\frac{1}{2} \\ 2B + C = -\frac{3}{2} \end{cases}$$ Soustrayons la première de la deuxième : $$(2B + C) - (B + C) = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow B = -1.$$ Puis $$-1 + C = -\frac{1}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}.$$ 8. **Formule finale de la décomposition :** $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}.$$ 9. **Somme partielle :** La somme partielle $S_N = \sum_{n=1}^N u_n$ est $$S_N = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1/2}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+2}.$$ 10. **Réécriture des sommes :** $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} = H_N,$$ $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n+1} = H_{N+1} - 1,$$ $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n+2} = H_{N+2} - 1 - \frac{1}{2},$$ avec $H_k$ la $k$-ième nombre harmonique. 11. **Substitution :** $$S_N = \frac{1}{2} H_N - (H_{N+1} - 1) + \frac{1}{2} (H_{N+2} - 1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} H_N - H_{N+1} + 1 + \frac{1}{2} H_{N+2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}.$$ 12. **Simplification :** $$S_N = \frac{1}{2} H_N - H_{N+1} + \frac{1}{2} H_{N+2} + \frac{1}{4}.$$ 13. **Utilisation des relations entre nombres harmoniques :** $$H_{N+1} = H_N + \frac{1}{N+1}, \quad H_{N+2} = H_N + \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2}.$$ 14. **Substitution dans $S_N$ :** $$S_N = \frac{1}{2} H_N - (H_N + \frac{1}{N+1}) + \frac{1}{2} (H_N + \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2}) + \frac{1}{4}.$$ 15. **Développement :** $$S_N = \frac{1}{2} H_N - H_N - \frac{1}{N+1} + \frac{1}{2} H_N + \frac{1}{2(N+1)} + \frac{1}{2(N+2)} + \frac{1}{4}.$$ 16. **Simplification des termes en $H_N$ :** $$\frac{1}{2} H_N - H_N + \frac{1}{2} H_N = 0.$$ 17. **Simplification des termes restants :** $$S_N = - \frac{1}{N+1} + \frac{1}{2(N+1)} + \frac{1}{2(N+2)} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{2(N+1)} + \frac{1}{2(N+2)} + \frac{1}{4}.$$ 18. **Mise au même dénominateur pour les deux fractions :** $$- \frac{1}{2(N+1)} + \frac{1}{2(N+2)} = \frac{-(N+2) + (N+1)}{2 (N+1)(N+2)} = \frac{-1}{2 (N+1)(N+2)}.$$ 19. **Formule finale pour la somme partielle :** $$S_N = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 (N+1)(N+2)}.$$ 20. **Limite quand $N \to \infty$ :** $$\lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}.$$ **Réponse finale :** La série $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$ converge et sa somme est $$\boxed{\frac{1}{4}}.$$