1. **Énoncé du problème :** Nous avons une suite définie par $U_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n(n+1)}{1}$ (corrigé en $U_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$). La somme partielle est $S_n = U_1 + U_2 + \cdots + U_n$. 2. **Calcul de $S_2$ :** $$S_2 = U_1 + U_2 = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)$$ En simplifiant, on a : $$S_2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3}$$ 3. **Calcul de $S_3$ :** $$S_3 = U_1 + U_2 + U_3 = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)$$ Simplifions : $$S_3 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4}$$ 4. **Calcul de $S_4$ :** $$S_4 = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)$$ Simplifions : $$S_4 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = 1 - \frac{1}{5}$$ 5. **Conjecture de l'expression générale de $S_n$ :** On remarque que tous les termes intermédiaires s'annulent, il reste donc : $$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$$ 6. **Limite de la suite $S_n$ :** Calculons la limite quand $n \to \infty$ : $$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - 0 = 1$$ **Réponse finale :** $$S_n = 1 - \frac{1}{n+1} \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} S_n = 1$$