1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$. (a) Montrer que $0 < u_n < 4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. (b) Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$. (c) La suite $(u_n)$ est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite. (d) Soit l'ensemble $A = \{u_n, n \in \mathbb{N}\}$. Déterminer $\sup A$, $\inf A$, $\min A$ et $\max A$ s'ils existent. 2. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ si $\alpha = 4$. --- 2. **Hypothèses et formule générale :** Sans la définition explicite de $u_n$, on suppose que la suite est définie par une relation de récurrence ou une fonction dépendant de $\alpha$. --- 3. **(a) Montrer que $0 < u_n < 4$ :** - Supposons par récurrence que $0 < u_n < 4$. - Montrons que cela entraîne $0 < u_{n+1} < 4$. - Cette étape dépend de la relation de récurrence exacte, mais généralement, on utilise la propriété que la fonction définissant $u_{n+1}$ est croissante et bornée entre 0 et 4. - Ainsi, par récurrence, $0 < u_n < 4$ pour tout $n$. --- 4. **(b) Étudier la monotonie :** - Calculer $u_{n+1} - u_n$. - Étudier le signe de cette différence. - Si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$, la suite est croissante. - Si $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout $n$, la suite est décroissante. - Sinon, la suite n'est pas monotone. --- 5. **(c) Convergence et limite :** - Si la suite est monotone et bornée, elle est convergente. - Soit $\ell = \lim_{n \to \infty} u_n$. - En passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient une équation pour $\ell$. - Résoudre cette équation pour trouver la limite. --- 6. **(d) Déterminer $\sup A$, $\inf A$, $\min A$, $\max A$ :** - $\sup A$ est la borne supérieure de la suite, souvent la limite si la suite est croissante. - $\inf A$ est la borne inférieure, souvent la limite si la suite est décroissante. - $\min A$ existe si la suite atteint sa borne inférieure. - $\max A$ existe si la suite atteint sa borne supérieure. --- 7. **(2) Nature de la suite si $\alpha = 4$ :** - Selon la définition, si $\alpha = 4$, la suite peut devenir constante ou avoir un comportement particulier. - Par exemple, si $u_0 = 4$, la suite peut être constante égale à 4. --- **Remarque :** Pour une réponse précise, la définition exacte de la suite $(u_n)$ est nécessaire. --- **Résumé :** - $0 < u_n < 4$ par récurrence. - La monotonie dépend du signe de $u_{n+1} - u_n$. - La suite est convergente si elle est monotone et bornée. - La limite $\ell$ est solution de l'équation limite. - $\sup A$, $\inf A$, $\min A$, $\max A$ dépendent de la nature de la suite. - Pour $\alpha = 4$, la suite peut être constante.