1. Énoncé du problème : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in [0,1]$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \in [0,1]$. 2. Hypothèses et méthode : On suppose que la fonction $f$ est telle que $f : [0,1] \to [0,1]$, c'est-à-dire que $f$ prend des valeurs dans l'intervalle $[0,1]$ quand son argument est dans $[0,1]$. 3. Preuve par récurrence : - Initialisation : Par hypothèse, $u_0 \in [0,1]$. - Hérédité : Supposons que $u_n \in [0,1]$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$. Alors, par définition de la suite, $u_{n+1} = f(u_n)$. Puisque $u_n \in [0,1]$ et $f$ est une fonction de $[0,1]$ dans $[0,1]$, on a $u_{n+1} = f(u_n) \in [0,1]$. 4. Conclusion : Par le principe de récurrence, on conclut que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \in [0,1]$. Cette propriété garantit que la suite reste toujours dans l'intervalle $[0,1]$ si $f$ est une fonction de $[0,1]$ dans $[0,1]$ et que $u_0$ est dans $[0,1]$.