1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(U_n)_{n\geq 1}$ définie par $$U_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}.$$ Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \leq U_n \leq \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}.$$ 2. **Formule et règles importantes :** On utilise la comparaison terme à terme de la somme avec des bornes inférieure et supérieure. Pour chaque terme, $$\frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$$ car $1 \leq k \leq n$ et la fonction $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{n^2 + x}}$ est décroissante en $x$. 3. **Travail intermédiaire :** - La borne inférieure : $$U_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} = n \times \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}}.$$ - La borne supérieure : $$U_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} = n \times \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}.$$ 4. **Conclusion :** On a donc montré que $$\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \leq U_n \leq \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}$$ ce qui était demandé. 5. **Déduction que $(U_n)$ est bornée :** - Étudions les limites des bornes quand $n \to +\infty$ : $$\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = 1,$$ $$\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = 1.$$ - Ainsi, pour tout $n$, $U_n$ est compris entre deux bornes qui tendent vers 1, donc la suite $(U_n)$ est bornée. **Réponse finale :** $$\boxed{\frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \leq U_n \leq \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} \quad \text{et} \quad (U_n) \text{ est bornée.}}$$