1. **Énoncé du problème :** On considère la suite définie par $$\begin{cases} U_0 = 2 \\ U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{U_n} \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{cases}$$ Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $2 \leq U_n \leq 4$. 2. **Formule et règles importantes :** La suite est définie par récurrence. Pour montrer une inégalité sur tous les termes, on utilise souvent la récurrence mathématique. 3. **Démonstration par récurrence :** - Initialisation : $$U_0 = 2$$ On a bien $2 \leq U_0 \leq 4$. - Hypothèse de récurrence : Supposons que pour un certain $n$, $2 \leq U_n \leq 4$. - Hérédité : Calculons $U_{n+1}$ : $$U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{U_n} = 5 - \frac{4}{U_n}$$ Puisque $2 \leq U_n \leq 4$, alors $\frac{1}{U_n}$ est compris entre $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{2}$. Donc : $$5 - \frac{4}{2} \leq U_{n+1} \leq 5 - \frac{4}{4}$$ $$5 - 2 \leq U_{n+1} \leq 5 - 1$$ $$3 \leq U_{n+1} \leq 4$$ On remarque que $U_{n+1}$ est entre 3 et 4, donc en particulier $2 \leq U_{n+1} \leq 4$. 4. **Conclusion :** Par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a bien $$2 \leq U_n \leq 4$$