1. **Énoncé du problème :** On doit montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $$|x_n - \alpha| \leq \frac{k^n}{1-k} |x_1 - x_0|.$$ 2. **Rappel des définitions et hypothèses :** - La suite $(x_n)$ est définie par $x_0 = u \in [a,b]$ et $x_{n+1} = g(x_n)$. - $\alpha$ est l'unique point fixe de $g$, c'est-à-dire $g(\alpha) = \alpha$. - $g$ est une contraction avec constante $k \in [0,1[$, donc $|g(x) - g(y)| \leq k |x - y|$. 3. **Utilisation de la question 2.b :** On a montré que pour tous $n,p \in \mathbb{N}$, $$|x_{n+p} - x_n| \leq \frac{1-k^p}{1-k} |x_{n+1} - x_n|.$$ 4. **Application avec $p \to +\infty$ :** Comme $k \in [0,1[$, on a $\lim_{p \to +\infty} k^p = 0$, donc $$\lim_{p \to +\infty} |x_{n+p} - x_n| \leq \frac{1-0}{1-k} |x_{n+1} - x_n| = \frac{1}{1-k} |x_{n+1} - x_n|.$$ 5. **Passage à la limite et convergence vers $\alpha$ :** La suite $(x_n)$ converge vers $\alpha$, donc $$|\alpha - x_n| = \lim_{p \to +\infty} |x_{n+p} - x_n| \leq \frac{1}{1-k} |x_{n+1} - x_n|.$$ 6. **Utilisation de la contraction pour $|x_{n+1} - x_n|$ :** On a $$|x_{n+1} - x_n| = |g(x_n) - g(x_{n-1})| \leq k |x_n - x_{n-1}|.$$ En répétant cette inégalité $n$ fois, $$|x_{n+1} - x_n| \leq k^n |x_1 - x_0|.$$ 7. **Conclusion :** En combinant les résultats, $$|x_n - \alpha| \leq \frac{1}{1-k} |x_{n+1} - x_n| \leq \frac{1}{1-k} k^n |x_1 - x_0| = \frac{k^n}{1-k} |x_1 - x_0|.$$ Ceci conclut la démonstration.