1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0=2$ et $U_{n+1}=f(U_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Il faut montrer que $1 \leq U_n \leq 2$ pour tout $n$, que la suite est décroissante, puis en déduire sa convergence et calculer sa limite. 2. **Hypothèses et formule utilisée :** On suppose que la fonction $f$ est telle que $f : [1,2] \to [1,2]$ et que $f$ est décroissante ou contractante sur cet intervalle. Ces propriétés sont nécessaires pour les démonstrations. 3. **Montrer que $1 \leq U_n \leq 2$ pour tout $n$ :** - Initialisation : $U_0=2$ donc $1 \leq U_0 \leq 2$. - Hérédité : Supposons $1 \leq U_n \leq 2$. Comme $f$ est définie sur $[1,2]$ et $f([1,2]) \subseteq [1,2]$, on a $U_{n+1} = f(U_n) \in [1,2]$. - Conclusion : Par récurrence, $1 \leq U_n \leq 2$ pour tout $n$. 4. **Montrer que $(U_n)$ est décroissante :** - Montrons que $U_{n+1} \leq U_n$. - Comme $f$ est décroissante sur $[1,2]$ et $U_n \in [1,2]$, on a $U_{n+1} = f(U_n) \leq f(U_{n-1}) = U_n$ si $U_n \geq U_{n-1}$. - Par récurrence, en partant de $U_0=2$, on obtient que la suite est décroissante. 5. **Convergence et calcul de la limite :** - La suite $(U_n)$ est décroissante et minorée par 1, donc elle est convergente. - Soit $\ell = \lim_{n \to \infty} U_n$. - Par continuité de $f$, on a $\ell = \lim U_{n+1} = \lim f(U_n) = f(\ell)$. - La limite $\ell$ est donc un point fixe de $f$ dans $[1,2]$. 6. **Conclusion :** - La suite $(U_n)$ est dans $[1,2]$, décroissante, convergente vers $\ell$ tel que $\ell = f(\ell)$. **Remarque :** Pour un calcul explicite de $\ell$, il faut connaître la forme exacte de $f$.