1. **Énoncé du problème** : Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et pour $n \geq 1$, $u_n = \sqrt{2 + u_{n-1}}$. Montrer que cette suite est croissante et majorée par 2. Que peut-on en conclure ? 2. **Formule et règles importantes** : - La suite est définie par récurrence. - Pour montrer qu'une suite est croissante, il faut montrer que $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$. - Pour montrer qu'elle est majorée par 2, il faut montrer que $u_n \leq 2$ pour tout $n$. 3. **Montrer que la suite est croissante** : - Montrons par récurrence que $u_n \leq 2$. - Initialisation : $u_0 = 1 \leq 2$. - Hypothèse de récurrence : supposons $u_n \leq 2$. - Alors $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \leq \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$. - Donc $u_n \leq 2$ pour tout $n$. 4. **Montrer que la suite est croissante** : - Montrons que $u_{n+1} \geq u_n$. - Calculons $u_{n+1} - u_n = \sqrt{2 + u_n} - u_n$. - Posons $f(x) = \sqrt{2 + x} - x$. - Étudions le signe de $f(x)$ pour $x \in [1,2]$ (car $u_0=1$ et $u_n \leq 2$). - $f(1) = \sqrt{3} - 1 > 0$. - $f(2) = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$. - La fonction $f$ est décroissante sur $[1,2]$ (car dérivée négative), donc $f(x) \geq 0$ sur cet intervalle. - Donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$, la suite est croissante. 5. **Conclusion** : - La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 2. - Par le théorème de la convergence monotone, $(u_n)$ converge. - Soit $\ell = \lim_{n \to \infty} u_n$. - En passant à la limite dans la relation de récurrence, on a $$\ell = \sqrt{2 + \ell}.$$ - En élevant au carré, $$\ell^2 = 2 + \ell.$$ - Ce qui donne $$\ell^2 - \ell - 2 = 0.$$ - Résolvons cette équation quadratique : $$\ell = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.$$ - Les solutions sont $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. - Comme la suite est positive, on a $\ell = 2$. **Réponse finale** : La suite $(u_n)$ est croissante, majorée par 2, et converge vers 2.