1. Énoncé du problème : Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_n=\sqrt{2+u_{n-1}}$ pour $n\geq1$ est croissante et majorée par 2. 2. Formule et règles importantes : Pour montrer qu'une suite est croissante, il faut prouver que $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$. Pour montrer qu'elle est majorée, il faut trouver une constante $M$ telle que $u_n \leq M$ pour tout $n$. 3. Montrons que $(u_n)$ est croissante : Calculons $u_{n+1} - u_n = \sqrt{2+u_n} - u_n$. Posons $f(x) = \sqrt{2+x} - x$. Montrons que $f(x) \geq 0$ pour $x$ dans l'intervalle où $u_n$ prend ses valeurs. Étudions $f(x)$ : $$f(x) \geq 0 \iff \sqrt{2+x} \geq x \iff 2+x \geq x^2 \iff x^2 - x - 2 \leq 0.$$ Résolvons $x^2 - x - 2 = 0$ : $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.$$ Les racines sont $-1$ et $2$. Donc $x^2 - x - 2 \leq 0$ pour $x \in [-1,2]$. Comme $u_0=1$ et on montrera que $u_n \leq 2$, on a $u_n \in [1,2]$ donc $f(u_n) \geq 0$. Ainsi, $u_{n+1} - u_n = f(u_n) \geq 0$, donc $(u_n)$ est croissante. 4. Montrons que $(u_n)$ est majorée par 2 : Par récurrence, $u_0=1 \leq 2$. Supposons $u_n \leq 2$, alors $$u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} \leq \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2.$$ Donc $u_{n+1} \leq 2$. Par le principe de récurrence, $u_n \leq 2$ pour tout $n$. 5. Conclusion : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 2, donc elle est convergente. On peut en conclure que la limite $\ell$ vérifie $$\ell = \sqrt{2 + \ell}.$$ En élevant au carré, $$\ell^2 = 2 + \ell \implies \ell^2 - \ell - 2 = 0.$$ Les solutions sont $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. Comme la suite est positive, la limite est $\boxed{2}$.