1. **Énoncé du problème :** I) Soit la suite $U_n$ définie par $U_n = 2 - (-1)^n$ pour $n \geq 1$. On doit déterminer si cette suite est majorée, minorée, croissante ou décroissante. II) Montrer que la suite $V_n = \frac{1}{n+1}$ est convergente, déterminer sa limite $l$, et trouver le plus petit entier $N_0$ tel que pour tout $n \geq N_0$, $|U_n - l| < \frac{1}{10^2}$. --- ### Partie I : Étude de la suite $U_n = 2 - (-1)^n$ 1. **Calcul des premiers termes :** - Pour $n$ pair, $(-1)^n = 1$, donc $U_n = 2 - 1 = 1$. - Pour $n$ impair, $(-1)^n = -1$, donc $U_n = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$. Donc la suite alterne entre 3 (impair) et 1 (pair). 2. **Majorée et minorée :** - La suite prend seulement les valeurs 1 et 3. - Donc, $U_n \leq 3$ pour tout $n$, la suite est majorée par 3. - Et $U_n \geq 1$ pour tout $n$, la suite est minorée par 1. 3. **Monotonie :** - La suite alterne entre 3 et 1, donc elle n'est ni croissante ni décroissante. --- ### Partie II : Convergence de la suite $V_n = \frac{1}{n+1}$ 1. **Définition de la limite :** On sait que $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$. 2. **Montrer la convergence :** Pour tout $\varepsilon > 0$, on cherche $N_0$ tel que pour tout $n \geq N_0$, $$|V_n - 0| = \left|\frac{1}{n+1}\right| < \varepsilon.$$ 3. **Trouver $N_0$ pour $\varepsilon = \frac{1}{10^2} = 0.01$ :** $$\frac{1}{n+1} < 0.01 \implies n+1 > 100 \implies n > 99.$$ Donc, le plus petit entier $N_0$ est 100. --- ### Résumé final : - La suite $U_n = 2 - (-1)^n$ est majorée par 3, minorée par 1, et n'est ni croissante ni décroissante. - La suite $V_n = \frac{1}{n+1}$ converge vers 0. - Le plus petit entier $N_0$ tel que pour tout $n \geq N_0$, $|V_n - 0| < \frac{1}{10^2}$ est $N_0 = 100$.