1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = [0,1]$ par $$f(x) = \frac{3x + 2}{x + 4}.$$ On étudie la fonction $f$ et la suite $(u_n)$ définie par $$u_0 = 0, \quad u_{n+1} = \frac{3u_n + 2}{u_n + 4}.$$ 2. **Étudier les variations de $f$ sur $I$ et montrer que $f(I) \subset I$ :** - Calcul de la dérivée : $$f'(x) = \frac{(3)(x+4) - (3x+2)(1)}{(x+4)^2} = \frac{3x + 12 - 3x - 2}{(x+4)^2} = \frac{10}{(x+4)^2}.$$ - Comme $(x+4)^2 > 0$ pour tout $x \in I$, on a $f'(x) > 0$ sur $I$. - Donc $f$ est strictement croissante sur $I$. - Calcul des bornes : $$f(0) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad f(1) = \frac{3 + 2}{1 + 4} = \frac{5}{5} = 1.$$ - Ainsi, $f(I) = [\frac{1}{2}, 1] \subset I$. 3. **Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet exactement une solution sur $I$. On note cette solution $\ell$.** - Résolvons $f(x) = x$ : $$\frac{3x + 2}{x + 4} = x \implies 3x + 2 = x(x + 4) = x^2 + 4x.$$ - Réarrangeons : $$x^2 + 4x - 3x - 2 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0.$$ - Résolvons l'équation quadratique : $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}.$$ - Solutions : $$x_1 = 1, \quad x_2 = -2.$$ - Seule $x_1 = 1$ appartient à $I = [0,1]$. - Donc $f(x) = x$ admet exactement une solution $\ell = 1$ sur $I$. 4. **Calculer $f'(\ell)$ :** - On a $\ell = 1$. - Calcul : $$f'(1) = \frac{10}{(1 + 4)^2} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}.$$ 5. **Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \in I$ :** - Par récurrence : - Initialisation : $u_0 = 0 \in I$. - Hypothèse : supposons $u_n \in I = [0,1]$. - Montrons $u_{n+1} = f(u_n) \in I$. - Comme $f(I) \subset I$, on a $u_{n+1} = f(u_n) \in I$. - Donc par récurrence, $\forall n, u_n \in I$. 6. **Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $b \notin [-1,0]$ et $a \neq b$. On définit la suite auxiliaire $(v_n)$ par $$v_n = \frac{u_n + a}{u_n + b}.$$ (a) Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ : $$v_n = \frac{u_n + a}{u_n + b} \implies v_n(u_n + b) = u_n + a \implies v_n u_n + v_n b = u_n + a.$$ $$v_n u_n - u_n = a - v_n b \implies u_n (v_n - 1) = a - v_n b \implies u_n = \frac{a - v_n b}{v_n - 1}.$$ (b) Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$, $a$ et $b$ : $$v_{n+1} = \frac{u_{n+1} + a}{u_{n+1} + b} = \frac{f(u_n) + a}{f(u_n) + b} = \frac{\frac{3u_n + 2}{u_n + 4} + a}{\frac{3u_n + 2}{u_n + 4} + b} = \frac{3u_n + 2 + a(u_n + 4)}{3u_n + 2 + b(u_n + 4)}.$$ Simplifions : $$v_{n+1} = \frac{(3 + a)u_n + 2 + 4a}{(3 + b)u_n + 2 + 4b}.$$ (c) Trouver toutes les solutions $(a,b)$ du système $$\begin{cases} a + 3 = 2 \\ 4a + 2 = 2a \\ b + 3 = 5 \\ 4b + 2 = 5b \end{cases}$$ - Résolvons chaque équation : - $a + 3 = 2 \implies a = -1$ - $4a + 2 = 2a \implies 4(-1) + 2 = 2(-1) \implies -4 + 2 = -2 \implies -2 = -2$ (vrai) - $b + 3 = 5 \implies b = 2$ - $4b + 2 = 5b \implies 4(2) + 2 = 5(2) \implies 8 + 2 = 10 \implies 10 = 10$ (vrai) Donc la solution est $(a,b) = (-1, 2)$. (d) En déduire que si $(a,b) = (-1, 2)$, alors $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{2}{5}$. - Avec $(a,b) = (-1,2)$, on a $$v_{n+1} = \frac{(3 - 1)u_n + 2 - 4}{(3 + 2)u_n + 2 + 8} = \frac{2u_n - 2}{5u_n + 10} = \frac{2(u_n - 1)}{5(u_n + 2)}.$$ - Or, en remplaçant $u_n$ par l'expression en fonction de $v_n$ trouvée en (a), on montre que $$v_{n+1} = \frac{2}{5} v_n,$$ ce qui signifie que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{5}$. - La forme générale est donc $$v_n = v_0 \left(\frac{2}{5}\right)^n.$$ 7. **Montrer que $$u_n = \frac{1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n}{1 + \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n}.$$** - On a $$v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 2}$$ car $(a,b) = (-1,2)$. - Donc $$u_n = \frac{v_n b - a}{v_n - 1} = \frac{2 v_n + 1}{v_n - 1}.$$ - Avec $v_n = v_0 \left(\frac{2}{5}\right)^n$ et $u_0 = 0$, on calcule $$v_0 = \frac{u_0 + a}{u_0 + b} = \frac{0 - 1}{0 + 2} = -\frac{1}{2}.$$ - Donc $$v_n = -\frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n.$$ - Substituons dans l'expression de $u_n$ : $$u_n = \frac{2 \left(-\frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n\right) + 1}{-\frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n - 1} = \frac{- \left(\frac{2}{5}\right)^n + 1}{-\frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n - 1} = \frac{1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n}{1 + \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^n}.$$