1. Énoncé du problème : On étudie la suite de terme général $$u_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^n$$. 2. Première question : Montrer que pour tout $x \in [0,1[$, on a $$-\frac{x}{1-x} \leq \ln(1-x) \leq -x.$$ 3. Pour cela, on utilise les propriétés de la fonction logarithme et les inégalités classiques. La fonction $f(x) = \ln(1-x)$ est définie et dérivable sur $[0,1[$. 4. On sait que pour $x \in [0,1[$, la fonction $\ln(1-x)$ est négative et décroissante. 5. On peut montrer que $$-\frac{x}{1-x} \leq \ln(1-x)$$ en considérant la fonction $$g(x) = \ln(1-x) + \frac{x}{1-x}$$ et en étudiant son signe. 6. De même, on montre que $$\ln(1-x) \leq -x$$ en utilisant la convexité de la fonction $\ln(1-x)$. 7. Deuxième question : Montrer que $$u_n \leq \frac{e}{e-1}.$$ 8. On remarque que $$u_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^n = \sum_{k=1}^n e^{n \ln(\frac{k}{n})}.$$ 9. En posant $x = 1 - \frac{k}{n}$, on a $\frac{k}{n} = 1 - x$ avec $x \in [0,1]$. 10. On utilise l'inégalité de la première question pour majorer $\ln(1-x)$ par $-x$. 11. Ainsi, $$\left(\frac{k}{n}\right)^n = e^{n \ln(1-x)} \leq e^{-n x}.$$ 12. La somme devient $$u_n \leq \sum_{k=1}^n e^{-n x} = \sum_{k=1}^n e^{-n (1 - \frac{k}{n})} = \sum_{k=1}^n e^{k - n} = e^{-n} \sum_{k=1}^n e^k.$$ 13. La somme géométrique est $$\sum_{k=1}^n e^k = e \frac{e^n - 1}{e - 1}.$$ 14. Donc, $$u_n \leq e^{-n} \cdot e \frac{e^n - 1}{e - 1} = \frac{e}{e - 1} \left(1 - e^{-n}\right).$$ 15. Comme $e^{-n} > 0$, on a $$u_n \leq \frac{e}{e - 1}.$$ 16. Conclusion : On a montré les deux inégalités demandées.