1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $$\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4} \end{cases}$$ Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \leq u_n \leq 4$. 2. **Formule et règles importantes :** On va utiliser la récurrence pour montrer la propriété $P(n): 0 \leq u_n \leq 4$. 3. **Initialisation :** Pour $n=0$, $u_0=0$ donc $0 \leq 0 \leq 4$ est vrai. 4. **Hérédité :** Supposons que $0 \leq u_n \leq 4$ est vrai. 5. Montrons que $0 \leq u_{n+1} \leq 4$. - Comme $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$, l'expression sous la racine est $3u_n + 4$. - Puisque $u_n \geq 0$, alors $3u_n + 4 \geq 4 > 0$, donc $u_{n+1}$ est bien défini et $u_{n+1} \geq 0$. - Pour la borne supérieure, on veut montrer $u_{n+1} \leq 4$. - Élevons au carré : $$u_{n+1} \leq 4 \iff \sqrt{3u_n + 4} \leq 4 \iff 3u_n + 4 \leq 16$$ - Or, $3u_n + 4 \leq 3 \times 4 + 4 = 16$, donc la propriété est vraie. 6. **Conclusion :** Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \leq u_n \leq 4$. --- 1. **Énoncé :** Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 2. **a) Montrer que :** $$4 - u_{n+1} \leq \frac{1}{2} (4 - u_n)$$ 3. **Calcul :** $$4 - u_{n+1} = 4 - \sqrt{3u_n + 4}$$ 4. Posons $x = u_n$, avec $0 \leq x \leq 4$. 5. On veut montrer : $$4 - \sqrt{3x + 4} \leq \frac{1}{2} (4 - x)$$ 6. Réarrangeons : $$4 - \sqrt{3x + 4} \leq 2 - \frac{x}{2}$$ $$\iff 4 - 2 \leq \sqrt{3x + 4} - \frac{x}{2}$$ $$2 \leq \sqrt{3x + 4} - \frac{x}{2}$$ 7. Vérifions cette inégalité pour $x \in [0,4]$. 8. Posons $f(x) = \sqrt{3x + 4} - \frac{x}{2}$. 9. Calculons $f(0) = \sqrt{4} - 0 = 2$. 10. Calculons $f(4) = \sqrt{16} - 2 = 4 - 2 = 2$. 11. La fonction $f$ est décroissante sur $[0,4]$ (car dérivée négative), donc $f(x) \geq 2$ pour tout $x$ dans cet intervalle. 12. Donc l'inégalité est vraie. --- 1. **b) En déduire que :** $$4 - u_n \leq 4 \left(\frac{1}{2}\right)^n$$ 2. En utilisant la relation de récurrence de l'inégalité : $$4 - u_{n+1} \leq \frac{1}{2} (4 - u_n)$$ 3. Par récurrence, on obtient : $$4 - u_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n (4 - u_0) = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^n$$ 4. Ceci montre que la suite $(u_n)$ converge vers 4 et est croissante. --- **Réponse finale :** Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$0 \leq u_n \leq 4$$ La suite $(u_n)$ est croissante et $$4 - u_n \leq 4 \left(\frac{1}{2}\right)^n.$$