1. **Énoncé du problème :** Calculer la suite d'intégrales $$I_n = \int_0^1 x^{2n+1} e^{x^2} \, dx$$ pour $$n \geq 0$$. 2. **Calcul de $$I_0$$ :** $$I_0 = \int_0^1 x^{2\cdot0+1} e^{x^2} \, dx = \int_0^1 x e^{x^2} \, dx$$ Utilisons la substitution $$u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{du}{2}$$. Donc, $$I_0 = \int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \int_0^1 e^u \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du = \frac{1}{2} [e^u]_0^1 = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{e - 1}{2}$$ 3. **Démonstration de la relation de récurrence par intégration par parties :** Posons $$I_{n+1} = \int_0^1 x^{2(n+1)+1} e^{x^2} \, dx = \int_0^1 x^{2n+3} e^{x^2} \, dx$$. Posons - $$u = x^{2n+2}$$ donc $$du = (2n+2) x^{2n+1} dx$$ - $$dv = x e^{x^2} dx$$, alors $$v = \frac{e^{x^2}}{2}$$ (car $$\frac{d}{dx} e^{x^2} = 2x e^{x^2}$$) Par intégration par parties : $$I_{n+1} = [u v]_0^1 - \int_0^1 v du = \left[ x^{2n+2} \frac{e^{x^2}}{2} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{e^{x^2}}{2} (2n+2) x^{2n+1} dx$$ Simplifions : $$I_{n+1} = \frac{e}{2} - (n+1) \int_0^1 x^{2n+1} e^{x^2} dx = \frac{e}{2} - (n+1) I_n$$ 4. **Calcul de $$I_1$$ et $$I_2$$ :** - Pour $$n=0$$ : $$I_1 = \frac{e}{2} - 1 \times I_0 = \frac{e}{2} - \frac{e-1}{2} = \frac{e - (e-1)}{2} = \frac{1}{2}$$ - Pour $$n=1$$ : $$I_2 = \frac{e}{2} - 2 \times I_1 = \frac{e}{2} - 2 \times \frac{1}{2} = \frac{e}{2} - 1$$ 5. **Inégalités et limite de $$I_n$$ :** On sait que pour $$x \in [0,1]$$, $$1 \leq e^{x^2} \leq e$$. Donc, $$\int_0^1 x^{2n+1} \cdot 1 \, dx \leq I_n \leq \int_0^1 x^{2n+1} e \, dx$$ Calculons ces bornes : $$\int_0^1 x^{2n+1} dx = \left[ \frac{x^{2n+2}}{2n+2} \right]_0^1 = \frac{1}{2n+2}$$ $$\int_0^1 x^{2n+1} e \, dx = e \times \frac{1}{2n+2} = \frac{e}{2n+2}$$ Donc, $$\frac{1}{2n+2} \leq I_n \leq \frac{e}{2n+2}$$ Quand $$n \to +\infty$$, $$\frac{1}{2n+2} \to 0$$ et $$\frac{e}{2n+2} \to 0$$. Par le théorème des gendarmes, $$I_n \to 0$$. **Réponses finales :** - $$I_0 = \frac{e-1}{2}$$ - $$I_1 = \frac{1}{2}$$ - $$I_2 = \frac{e}{2} - 1$$ - $$\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$$