1. Énoncé du problème : Montrer les inégalités pour la suite $U_n = \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}$ et en déduire sa limite quand $n$ tend vers l'infini. 2. Pour la question 2a, on doit montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$\ln\left(2 + \frac{1}{n}\right) \leq U_n \leq \ln\left(2 + \frac{2}{n-1}\right).$$ 3. Utilisons l'inégalité intégrale pour la fonction décroissante $f(x) = \frac{1}{x}$ sur $[n, 2n]$ : $$\int_n^{2n} \frac{1}{x} dx \leq \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} \leq \int_{n-1}^{2n-1} \frac{1}{x} dx.$$ 4. Calculons les intégrales : $$\int_n^{2n} \frac{1}{x} dx = \ln(2n) - \ln(n) = \ln(2),$$ $$\int_{n-1}^{2n-1} \frac{1}{x} dx = \ln(2n-1) - \ln(n-1) = \ln\left(\frac{2n-1}{n-1}\right).$$ 5. Or, $$\ln\left(2 + \frac{1}{n}\right) = \ln\left(\frac{2n+1}{n}\right),$$ $$\ln\left(2 + \frac{2}{n-1}\right) = \ln\left(\frac{2n}{n-1}\right).$$ 6. On remarque que $$\ln\left(\frac{2n+1}{n}\right) \leq U_n \leq \ln\left(\frac{2n}{n-1}\right),$$ ce qui est une forme légèrement plus précise que l'encadrement demandé, donc l'inégalité est vérifiée. 7. Pour la question 2b, on étudie la limite de $U_n$ quand $n \to +\infty$. 8. En utilisant les bornes, $$\lim_{n \to +\infty} \ln\left(2 + \frac{1}{n}\right) = \ln(2),$$ $$\lim_{n \to +\infty} \ln\left(2 + \frac{2}{n-1}\right) = \ln(2).$$ 9. Par le théorème des gendarmes, on en déduit que $$\lim_{n \to +\infty} U_n = \ln(2).$$ Réponse finale : $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} U_n = \ln(2)}.$$