Suite Monotonie F610C5

1. **Énoncé du problème :** On considère la suite définie par $U_0=2$ et $U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{U_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Montrer que $2 \leq U_n \leq 4$ pour tout $n$ :** - Initialisation : $U_0=2$ donc $2 \leq U_0 \leq 4$ est vrai. - Supposons $2 \leq U_n \leq 4$. - Calculons $U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{U_n} = 5 - \frac{4}{U_n}$. - Comme $U_n \geq 2$, alors $\frac{4}{U_n} \leq 2$, donc $U_{n+1} \geq 5 - 2 = 3$. - Comme $U_n \leq 4$, alors $\frac{4}{U_n} \geq 1$, donc $U_{n+1} \leq 5 - 1 = 4$. - Ainsi, $3 \leq U_{n+1} \leq 4$, ce qui est plus restrictif que $2 \leq U_{n+1} \leq 4$. - Par récurrence, $2 \leq U_n \leq 4$ pour tout $n$. 3. **Étudier la monotonie de $U_n$ :** - Calculons $U_{n+1} - U_n = \frac{5U_n - 4}{U_n} - U_n = \frac{5U_n - 4 - U_n^2}{U_n} = \frac{-U_n^2 + 5U_n - 4}{U_n}$. - Le numérateur est $-U_n^2 + 5U_n - 4 = -(U_n^2 - 5U_n + 4) = -(U_n - 4)(U_n - 1)$. - Pour $U_n \in [2,4]$, $(U_n - 4) \leq 0$ et $(U_n - 1) > 0$, donc le produit $(U_n - 4)(U_n - 1) \leq 0$. - Ainsi, $- (U_n - 4)(U_n - 1) \geq 0$, donc $U_{n+1} - U_n \geq 0$. - Comme $U_n > 0$, le dénominateur est positif, donc $U_{n+1} \geq U_n$. - La suite est donc croissante. 4. **Montrer que $4 - U_{n+1} \leq \frac{1}{2}(4 - U_n)$ :** - On a $U_{n+1} = 5 - \frac{4}{U_n}$. - Donc $4 - U_{n+1} = 4 - 5 + \frac{4}{U_n} = -1 + \frac{4}{U_n} = \frac{4 - U_n}{U_n}$. - Comme $2 \leq U_n \leq 4$, on a $\frac{1}{U_n} \leq \frac{1}{2}$. - Donc $4 - U_{n+1} = \frac{4 - U_n}{U_n} \leq \frac{4 - U_n}{2} = \frac{1}{2}(4 - U_n)$. 5. **Montrer que $4 - U_n \leq 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ :** - Posons $a_n = 4 - U_n$. - D'après la question précédente, $a_{n+1} \leq \frac{1}{2} a_n$. - Par récurrence, $a_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n a_0$. - Or $a_0 = 4 - U_0 = 4 - 2 = 2$. - Donc $4 - U_n \leq 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n$. 6. **Montrer que $S_n = U_0 + U_1 + \cdots + U_{n-1} \geq 4n - 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ pour $n \geq 1$ :** - On a $U_k = 4 - a_k$ avec $a_k = 4 - U_k$. - Donc $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} U_k = \sum_{k=0}^{n-1} (4 - a_k) = 4n - \sum_{k=0}^{n-1} a_k$. - Comme $a_k \leq 2 \left(\frac{1}{2}\right)^k$, on a $\sum_{k=0}^{n-1} a_k \leq 2 \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^k$. - La somme géométrique est $\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$. - Donc $\sum_{k=0}^{n-1} a_k \leq 2 \times 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) = 4 - 4 \left(\frac{1}{2}\right)^n$. - Ainsi, $S_n \geq 4n - (4 - 4 (1/2)^n) = 4n - 4 + 4 \left(\frac{1}{2}\right)^n$. - Or $4 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$. - Donc $S_n \geq 4n - 4 + 2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$. - La question demande $S_n \geq 4n - 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, ce qui est plus faible, donc la propriété est vraie. **Réponses finales :** - $2 \leq U_n \leq 4$ pour tout $n$. - La suite $(U_n)$ est croissante. - $4 - U_{n+1} \leq \frac{1}{2} (4 - U_n)$. - $4 - U_n \leq 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n$. - $S_n \geq 4n - 2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ pour tout $n \geq 1$.