1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0 = 1, \quad u_{n+1} = 2 \times \frac{u_n + 1}{u_n + 2}, \quad \forall n \in \mathbb{N}.$$ On doit : - Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ et montrer que $f$ est croissante. - Calculer $f(\sqrt{2})$ et déduire par récurrence que $1 \leq u_n \leq \sqrt{2}$. - Vérifier que $(u_n)$ est croissante. - Montrer que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite. 2. **Détermination de la fonction $f$ :** Par définition, on a $$u_{n+1} = f(u_n) = 2 \times \frac{u_n + 1}{u_n + 2}.$$ Donc $$f(x) = 2 \times \frac{x + 1}{x + 2}.$$ 3. **Montrer que $f$ est croissante :** Calculons la dérivée de $f$ sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ : $$f'(x) = 2 \times \frac{(1)(x+2) - (x+1)(1)}{(x+2)^2} = 2 \times \frac{x + 2 - x - 1}{(x+2)^2} = 2 \times \frac{1}{(x+2)^2} = \frac{2}{(x+2)^2}.$$ Comme $(x+2)^2 > 0$ pour tout $x \neq -2$, on a $f'(x) > 0$ partout sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$. 4. **Calcul de $f(\sqrt{2})$ :** $$f(\sqrt{2}) = 2 \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 2}.$$ On peut laisser sous cette forme ou approximer : $$f(\sqrt{2}) \approx 2 \times \frac{1.414 + 1}{1.414 + 2} = 2 \times \frac{2.414}{3.414} \approx 2 \times 0.707 = 1.414 = \sqrt{2}.$$ Donc $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$. 5. **Inégalité par récurrence : $1 \leq u_n \leq \sqrt{2}$ :** - Initialisation : $$u_0 = 1,$$ donc $1 \leq u_0 \leq \sqrt{2}$. - Hérédité : Supposons $1 \leq u_n \leq \sqrt{2}$. Comme $f$ est croissante et $f(1) = 2 \times \frac{1+1}{1+2} = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.333$ et $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$, on a $$f(1) \leq f(u_n) \leq f(\sqrt{2}) \Rightarrow \frac{4}{3} \leq u_{n+1} \leq \sqrt{2}.$$ Or $\frac{4}{3} > 1$, donc $$1 \leq u_{n+1} \leq \sqrt{2}.$$ La propriété est donc vraie par récurrence. 6. **Montrer que $(u_n)$ est croissante :** On veut montrer $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$. Calculons $$u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n = 2 \times \frac{u_n + 1}{u_n + 2} - u_n.$$ Mettons au même dénominateur : $$= \frac{2(u_n + 1) - u_n(u_n + 2)}{u_n + 2} = \frac{2u_n + 2 - u_n^2 - 2u_n}{u_n + 2} = \frac{2 - u_n^2}{u_n + 2}.$$ Comme $u_n + 2 > 0$ (car $u_n \geq 1$), le signe de $u_{n+1} - u_n$ dépend de $2 - u_n^2$. Or, $u_n \leq \sqrt{2}$ donc $u_n^2 \leq 2$, donc $2 - u_n^2 \geq 0$. Donc $$u_{n+1} - u_n \geq 0,$$ ce qui montre que $(u_n)$ est croissante. 7. **Convergence et calcul de la limite :** La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\sqrt{2}$, donc elle est convergente. Soit $\ell = \lim_{n \to \infty} u_n$. En passant à la limite dans la relation de récurrence, on a $$\ell = f(\ell) = 2 \times \frac{\ell + 1}{\ell + 2}.$$ Multiplions les deux côtés par $\ell + 2$ : $$\ell(\ell + 2) = 2(\ell + 1).$$ Développons : $$\ell^2 + 2\ell = 2\ell + 2.$$ Soustrayons $2\ell$ des deux côtés : $$\ell^2 = 2.$$ Donc $$\ell = \sqrt{2}$$ (car $u_n \geq 1$, la limite est positive). **Réponse finale :** La suite $(u_n)$ est définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $$f(x) = 2 \times \frac{x + 1}{x + 2},$$ qui est strictement croissante. On a $1 \leq u_n \leq \sqrt{2}$ pour tout $n$, $(u_n)$ est croissante et converge vers $$\lim_{n \to \infty} u_n = \sqrt{2}.$$