1. **Énoncé du problème 4** : Montrer les propriétés des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par les relations données. 2. **Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}) : u_n \geq 2$** : - On suppose que $u_0 \geq 2$ (donnée implicite ou à vérifier). - Montrons par récurrence que $u_n \geq 2$. - Initialisation : $u_0 \geq 2$. - Hérédité : Supposons $u_n \geq 2$, alors selon la définition de $u_{n+1}$ (non précisée ici), on montre que $u_{n+1} \geq 2$. 3. **Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et convergente** : - Montrer que $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$. - Utiliser la propriété de suite monotone et bornée pour conclure à la convergence. 4. **Définition de la suite $(v_n)$ :** $$v_n = \frac{u_n - 2}{u_n + 2}$$ 5. **a. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et déterminer sa raison** : - Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. - Montrer que $v_{n+1} = r v_n$ avec $r$ la raison à déterminer. 6. **b. Calculer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$** : - $v_n = v_0 r^n$. - Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ : $$u_n = 2 \frac{1 + v_n}{1 - v_n}$$ 7. **Calculer la limite $\lim_{n \to \infty} u_n$** : - Comme $|r| < 1$, $v_n \to 0$. - Donc $u_n \to 2$. --- **Résumé** : - $u_n \geq 2$ pour tout $n$. - $(u_n)$ est décroissante et converge vers 2. - $(v_n)$ est géométrique avec raison $r$. - $v_n = v_0 r^n$ et $u_n = 2 \frac{1 + v_n}{1 - v_n}$. - Limite de $u_n$ est 2.