1. Énoncé du problème : Déduire le tableau de variation de la fonction $$f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x - 2$$. 2. Rappel : Pour étudier les variations d'une fonction polynomiale, on calcule sa dérivée $$f'(x)$$, puis on étudie le signe de $$f'(x)$$. 3. Calcul de la dérivée : $$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3) - \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) - \frac{d}{dx}(2) = 9x^2 - 4x - 5$$ 4. Étude du signe de $$f'(x) = 9x^2 - 4x - 5$$ : On résout l'équation $$9x^2 - 4x - 5 = 0$$ pour trouver les points critiques. 5. Calcul du discriminant : $$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 9 \times (-5) = 16 + 180 = 196$$ 6. Racines : $$x_1 = \frac{4 - \sqrt{196}}{2 \times 9} = \frac{4 - 14}{18} = \frac{-10}{18} = -\frac{5}{9}$$ $$x_2 = \frac{4 + \sqrt{196}}{2 \times 9} = \frac{4 + 14}{18} = \frac{18}{18} = 1$$ 7. Signe de $$f'(x)$$ : - Pour $$x < -\frac{5}{9}$$, comme le coefficient de $$x^2$$ est positif, $$f'(x) > 0$$. - Entre $$-\frac{5}{9}$$ et $$1$$, $$f'(x) < 0$$. - Pour $$x > 1$$, $$f'(x) > 0$$. 8. Conclusion : - $$f$$ est croissante sur $$(-\infty, -\frac{5}{9})$$. - $$f$$ est décroissante sur $$(-\frac{5}{9}, 1)$$. - $$f$$ est croissante sur $$(1, +\infty)$$. 9. Calcul des valeurs aux points critiques : $$f\left(-\frac{5}{9}\right) = 3\left(-\frac{5}{9}\right)^3 - 2\left(-\frac{5}{9}\right)^2 - 5\left(-\frac{5}{9}\right) - 2 = -\frac{125}{243} - \frac{50}{81} + \frac{25}{9} - 2 = -\frac{125}{243} - \frac{150}{243} + \frac{675}{243} - \frac{486}{243} = \frac{-125 - 150 + 675 - 486}{243} = \frac{-86}{243}$$ $$f(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) - 2 = 3 - 2 - 5 - 2 = -6$$ Le tableau de variation est donc : - Croissante de $$-\infty$$ à $$-\frac{5}{9}$$ avec $$f(-\frac{5}{9}) \approx -0.354$$ (maximum local). - Décroissante de $$-\frac{5}{9}$$ à $$1$$ avec $$f(1) = -6$$ (minimum local). - Croissante de $$1$$ à $$+\infty$$.