1. **Énoncé du problème** : On doit déterminer le tableau de variations de la fonction $f(t) = 3t e^{-0,5t + 1}$ sur l'intervalle $[0;10]$. 2. **Dérivée de la fonction** : On a déjà calculé la dérivée : $$f'(t) = 3(-0,5t + 1) e^{-0,5t + 1}$$ 3. **Étude du signe de $f'(t)$** : - La fonction exponentielle $e^{-0,5t + 1}$ est toujours strictement positive. - Le signe de $f'(t)$ dépend donc du facteur $3(-0,5t + 1)$. 4. **Résolution de $-0,5t + 1 = 0$** : $$-0,5t + 1 = 0 \implies -0,5t = -1 \implies t = \frac{-1}{-0,5} = 2$$ 5. **Signe de $f'(t)$ sur $[0;10]$** : - Pour $t < 2$, $-0,5t + 1 > 0$ donc $f'(t) > 0$ (fonction croissante). - Pour $t > 2$, $-0,5t + 1 < 0$ donc $f'(t) < 0$ (fonction décroissante). 6. **Valeurs aux bornes et au point critique** : - $f(0) = 3 \times 0 \times e^{1} = 0$ - $f(2) = 3 \times 2 \times e^{-0,5 \times 2 + 1} = 6 e^{0} = 6$ - $f(10) = 3 \times 10 \times e^{-0,5 \times 10 + 1} = 30 e^{-4} \approx 30 \times 0,0183 = 0,549$ 7. **Tableau de variations** : \begin{tabular}{c|ccc} $t$ & 0 & 2 & 10 \\ \hline $f'(t)$ & + & 0 & - \\ $f(t)$ & 0 & \textbf{6 (max)} & 0,549 \\ \end{tabular} **Conclusion** : La fonction $f$ est croissante sur $[0,2]$ avec un maximum local en $t=2$, puis décroissante sur $[2,10]$.