1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 2x + 3$. On cherche à démontrer que la courbe $C_f$ admet une tangente en chaque point, puis à déterminer l'équation de la tangente $T_a$ au point d'abscisse $a$. 2. **Dérivée et existence de la tangente :** La dérivée de $f$ est donnée par la formule $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Calculons $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 3) = 2x - 2$$ La dérivée existe pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc la courbe admet une tangente en chaque point. 3. **Équation de la tangente au point d'abscisse $a$ :** La pente de la tangente en $x=a$ est $f'(a) = 2a - 2$. Le point de tangence est $(a, f(a)) = (a, a^2 - 2a + 3)$. L'équation de la tangente s'écrit : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ $$y = (2a - 2)(x - a) + a^2 - 2a + 3$$ 4. **Simplification de l'équation de la tangente :** $$y = (2a - 2)x - (2a - 2)a + a^2 - 2a + 3$$ $$y = (2a - 2)x - 2a^2 + 2a + a^2 - 2a + 3$$ $$y = (2a - 2)x - a^2 + 3$$ 5. **Nombre de tangentes passant par $A(1,0)$ :** On cherche $a$ tel que la tangente $T_a$ passe par $A$ : $$0 = (2a - 2) \times 1 - a^2 + 3$$ $$0 = 2a - 2 - a^2 + 3$$ $$0 = -a^2 + 2a + 1$$ $$a^2 - 2a - 1 = 0$$ 6. **Résolution de l'équation quadratique :** $$a = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$ Il y a donc deux tangentes passant par $A$. 7. **Existence de tangentes passant par l'origine $O(0,0)$ :** On cherche $a$ tel que la tangente $T_a$ passe par $O$ : $$0 = (2a - 2) \times 0 - a^2 + 3$$ $$0 = -a^2 + 3$$ $$a^2 = 3$$ $$a = \pm \sqrt{3}$$ 8. **Équations des tangentes passant par l'origine :** Pour $a = \sqrt{3}$ : $$y = (2\sqrt{3} - 2)x - (\sqrt{3})^2 + 3 = (2\sqrt{3} - 2)x - 3 + 3 = (2\sqrt{3} - 2)x$$ Pour $a = -\sqrt{3}$ : $$y = (2(-\sqrt{3}) - 2)x - (-\sqrt{3})^2 + 3 = (-2\sqrt{3} - 2)x - 3 + 3 = (-2\sqrt{3} - 2)x$$ **Réponses finales :** - La courbe admet une tangente en chaque point. - L'équation de la tangente en $a$ est $y = (2a - 2)x - a^2 + 3$. - Deux tangentes passent par $A(1,0)$, correspondant à $a = 1 \pm \sqrt{2}$. - Deux tangentes passent par l'origine, leurs équations sont $y = (2\sqrt{3} - 2)x$ et $y = (-2\sqrt{3} - 2)x$.