1. Énoncé du problème : Nous avons la fonction $f$ définie sur $[-8; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x + 8}$. On sait que $f'(1) = \frac{1}{6}$. Nous devons trouver l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1, puis vérifier si le point $K(4;4)$ appartient à cette droite. 2. Formule de la tangente : L'équation de la tangente à la courbe au point $A(x_0, f(x_0))$ est donnée par : $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$ 3. Calcul des valeurs nécessaires : Calculons $f(1)$ : $$f(1) = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$$ 4. Équation de la tangente au point $A(1,3)$ : $$y = \frac{1}{6}(x - 1) + 3$$ 5. Simplification de l'équation : $$y = \frac{1}{6}x - \frac{1}{6} + 3 = \frac{1}{6}x + \frac{17}{6}$$ 6. Vérification si le point $K(4;4)$ appartient à la droite : Calculons $y$ pour $x=4$ dans l'équation de la tangente : $$y = \frac{1}{6} \times 4 + \frac{17}{6} = \frac{4}{6} + \frac{17}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$$ Le point $K$ a une ordonnée $4$ alors que la droite a pour ordonnée $3.5$ en $x=4$, donc $K$ n'appartient pas à la tangente. Réponse finale : L'équation réduite de la tangente est $$y = \frac{1}{6}x + \frac{17}{6}$$ Le point $K(4;4)$ n'appartient pas à cette droite.