1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 2x + 3$. On doit : - Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente en chaque point. - Trouver l'équation de la tangente $T_a$ au point d'abscisse $a$. - Déterminer le nombre de tangentes passant par $A(1,0)$. - Vérifier s'il existe des tangentes passant par l'origine $O(0,0)$ et donner leurs équations. 2. **Dérivée et tangente :** La dérivée $f'(x)$ donne la pente de la tangente en $x$. $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 3) = 2x - 2$$ La tangente en $x=a$ a pour équation : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ 3. **Calcul de $f(a)$ et $f'(a)$ :** $$f(a) = a^2 - 2a + 3$$ $$f'(a) = 2a - 2$$ Donc l'équation de la tangente $T_a$ est : $$y = (2a - 2)(x - a) + a^2 - 2a + 3$$ 4. **Simplification de l'équation de la tangente :** $$y = (2a - 2)x - (2a - 2)a + a^2 - 2a + 3$$ $$y = (2a - 2)x - 2a^2 + 2a + a^2 - 2a + 3$$ $$y = (2a - 2)x - a^2 + 3$$ 5. **Nombre de tangentes passant par $A(1,0)$ :** On cherche $a$ tel que la tangente $T_a$ passe par $(1,0)$ : $$0 = (2a - 2) \times 1 - a^2 + 3$$ $$0 = 2a - 2 - a^2 + 3$$ $$0 = -a^2 + 2a + 1$$ On résout : $$a^2 - 2a - 1 = 0$$ Discriminant : $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 4 + 4 = 8$$ Racines : $$a = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$ Il y a donc 2 tangentes passant par $A(1,0)$. 6. **Tangentes passant par l'origine $O(0,0)$ :** On cherche $a$ tel que la tangente $T_a$ passe par $(0,0)$ : $$0 = (2a - 2) \times 0 - a^2 + 3$$ $$0 = -a^2 + 3$$ $$a^2 = 3$$ Donc : $$a = \pm \sqrt{3}$$ Les équations des tangentes sont : Pour $a = \sqrt{3}$ : $$y = (2\sqrt{3} - 2)x - (\sqrt{3})^2 + 3 = (2\sqrt{3} - 2)x - 3 + 3 = (2\sqrt{3} - 2)x$$ Pour $a = -\sqrt{3}$ : $$y = (2(-\sqrt{3}) - 2)x - (-\sqrt{3})^2 + 3 = (-2\sqrt{3} - 2)x - 3 + 3 = (-2\sqrt{3} - 2)x$$ **Réponses finales :** - La courbe admet une tangente en chaque point. - L'équation de la tangente en $a$ est $y = (2a - 2)x - a^2 + 3$. - Il y a 2 tangentes passant par $A(1,0)$, correspondant à $a = 1 \pm \sqrt{2}$. - Il existe 2 tangentes passant par l'origine, leurs équations sont : $$y = (2\sqrt{3} - 2)x$$ $$y = (-2\sqrt{3} - 2)x$$