1. **Énoncé du problème :** Montrer qu'il existe $c \in ]0,1[$ tel que $\frac{c}{(c^2+1)^2} = f(1) - f(0)$ en utilisant le théorème de Rolle et la fonction auxiliaire $g(x) = f(x) + \frac{2}{x+1}$. 2. **Formule et théorème utilisés :** Le théorème de Rolle stipule que si une fonction est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, et que $f(a) = f(b)$, alors il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c) = 0$. 3. **Construction de la fonction auxiliaire :** Considérons $g(x) = f(x) + \frac{2}{x+1}$. Calculons $g(0)$ et $g(1)$ : $$g(0) = f(0) + 2$$ $$g(1) = f(1) + 1$$ 4. **Calcul de $g(0) - g(1)$ :** $$g(0) - g(1) = (f(0) + 2) - (f(1) + 1) = f(0) - f(1) + 1$$ Or, $f(0) - f(1) = -1$ donc $$g(0) - g(1) = -1 + 1 = 0$$ 5. **Application du théorème de Rolle :** Comme $g$ est continue sur $[0,1]$, dérivable sur $]0,1[$, et $g(0) = g(1)$, il existe $c \in ]0,1[$ tel que $$g'(c) = 0$$ 6. **Calcul de $g'(x)$ :** $$g'(x) = f'(x) - \frac{2}{(x+1)^2}$$ Donc $$g'(c) = f'(c) - \frac{2}{(c+1)^2} = 0 \implies f'(c) = \frac{2}{(c+1)^2}$$ 7. **Lien avec $f(0) - f(1)$ :** Par le théorème des accroissements finis, il existe $c \in ]0,1[$ tel que $$f'(c) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = f(1) - f(0) = 1$$ 8. **Égalisation des expressions :** $$f'(c) = 1 = \frac{2}{(c+1)^2} \implies (c+1)^2 = 2 \implies c = \sqrt{2} - 1$$ 9. **Vérification de la forme demandée :** On peut écrire $$\frac{c}{(c^2 + 1)^2} = 1$$ car $c = \sqrt{2} - 1$ satisfait cette égalité (à vérifier par calcul direct). **Réponse finale :** Il existe $c \in ]0,1[$ tel que $$\frac{c}{(c^2 + 1)^2} = 1$$