1. **Énoncé du problème** : Montrer que l'équation $ (x+1) \ln \sqrt{x} = x^2 - 2019x - 2018 $ admet une seule solution sur l'intervalle $[1, +\infty[$. 2. **Réécriture de l'équation** : On pose $$ f(x) = (x+1) \ln \sqrt{x} - (x^2 - 2019x - 2018). $$ Montrer qu'il existe une unique solution revient à montrer que $f(x) = 0$ a une unique solution sur $[1, +\infty[$. 3. **Simplification de $f(x)$** : Rappelons que $\ln \sqrt{x} = \frac{1}{2} \ln x$, donc $$ f(x) = (x+1) \cdot \frac{1}{2} \ln x - x^2 + 2019x + 2018 = \frac{x+1}{2} \ln x - x^2 + 2019x + 2018. $$ 4. **Étude de la dérivée $f'(x)$** : Calculons $f'(x)$ pour étudier la monotonie de $f$ : $$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x+1}{2} \ln x \right) - \frac{d}{dx} (x^2 - 2019x - 2018). $$ Calculons chaque terme : - $$ \frac{d}{dx} \left( \frac{x+1}{2} \ln x \right) = \frac{1}{2} \left( \ln x + \frac{x+1}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( \ln x + 1 + \frac{1}{x} \right). $$ - $$ \frac{d}{dx} (x^2 - 2019x - 2018) = 2x - 2019. $$ Donc $$ f'(x) = \frac{1}{2} \left( \ln x + 1 + \frac{1}{x} \right) - (2x - 2019) = \frac{1}{2} \ln x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2x} - 2x + 2019. $$ 5. **Étude du signe de $f'(x)$ sur $[1, +\infty[$** : - Pour $x=1$, $$ f'(1) = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 2 + 2019 = 1 - 2 + 2019 = 2018 > 0. $$ - Pour $x$ grand, le terme dominant est $-2x$, donc $f'(x) \to -\infty$ quand $x \to +\infty$. 6. **Conclusion sur $f'(x)$** : La fonction $f'(x)$ est continue sur $[1, +\infty[$, positive en $x=1$ et tend vers $-\infty$ à l'infini. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $x_0 > 1$ tel que $f'(x_0) = 0$. De plus, $f'(x) > 0$ pour $x \in [1, x_0[$ et $f'(x) < 0$ pour $x > x_0$. 7. **Monotonie de $f$** : - $f$ est croissante sur $[1, x_0]$. - $f$ est décroissante sur $[x_0, +\infty[$. 8. **Valeurs aux bornes** : - Calculons $f(1)$ : $$ f(1) = \frac{1+1}{2} \ln 1 - 1^2 + 2019 \cdot 1 + 2018 = 0 - 1 + 2019 + 2018 = 4036 > 0. $$ - Pour $x \to +\infty$, $f(x) \sim -x^2 \to -\infty$. 9. **Existence et unicité de la solution** : - Comme $f(1) > 0$ et $f(x) \to -\infty$ quand $x \to +\infty$, par continuité, il existe au moins une solution $x^* > 1$ telle que $f(x^*) = 0$. - Comme $f$ est d'abord croissante puis décroissante, elle ne peut couper l'axe des abscisses qu'une seule fois. **Donc, l'équation admet une unique solution sur $[1, +\infty[$.**