1. **Énoncé du problème** : Trouver la valeur $c$ du théorème de la moyenne pour l'intégrale définie de la fonction $f(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$ sur l'intervalle $[0, \ln 2]$. 2. **Rappel du théorème de la moyenne pour les intégrales** : Il existe un $c \in [a,b]$ tel que $$\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b - a)$$ Ici, $a=0$ et $b=\ln 2$. 3. **Calcul de l'intégrale** : $$\int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{1+e^x} \, dx$$ Posons $u = 1 + e^x$, alors $du = e^x dx$. 4. **Changement de variable** : $$\int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{1+e^x} \, dx = \int_{u=1}^{u=1+e^{\ln 2}} \frac{1}{u} \, du = \int_1^{1+2} \frac{1}{u} \, du = \int_1^3 \frac{1}{u} \, du$$ 5. **Calcul de l'intégrale en $u$** : $$\int_1^3 \frac{1}{u} \, du = [\ln|u|]_1^3 = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3$$ 6. **Application du théorème de la moyenne** : $$\int_0^{\ln 2} f(x) \, dx = f(c)(\ln 2 - 0) = f(c) \ln 2$$ Donc $$f(c) = \frac{\ln 3}{\ln 2}$$ 7. **Trouver $c$ tel que** $$f(c) = \frac{e^c}{1+e^c} = \frac{\ln 3}{\ln 2}$$ 8. **Résolution pour $e^c$** : $$\frac{e^c}{1+e^c} = \frac{\ln 3}{\ln 2} \Rightarrow e^c = \frac{\ln 3}{\ln 2} (1 + e^c)$$ $$e^c = \frac{\ln 3}{\ln 2} + \frac{\ln 3}{\ln 2} e^c$$ $$e^c - \frac{\ln 3}{\ln 2} e^c = \frac{\ln 3}{\ln 2}$$ $$e^c \left(1 - \frac{\ln 3}{\ln 2}\right) = \frac{\ln 3}{\ln 2}$$ 9. **Simplification** : $$e^c = \frac{\frac{\ln 3}{\ln 2}}{1 - \frac{\ln 3}{\ln 2}} = \frac{\frac{\ln 3}{\ln 2}}{\frac{\ln 2 - \ln 3}{\ln 2}} = \frac{\ln 3}{\ln 2 - \ln 3}$$ 10. **Calcul de $c$** : $$c = \ln \left( \frac{\ln 3}{\ln 2 - \ln 3} \right)$$ 11. **Vérification que $c \in [0, \ln 2]$** : On sait que $\ln 2 \approx 0.693$, $\ln 3 \approx 1.0986$, donc $\ln 2 - \ln 3 < 0$, ce qui rend le dénominateur négatif, donc $e^c$ négatif, ce qui est impossible. Cela signifie que $f(c) = \frac{\ln 3}{\ln 2} > 1$, or $f(x) = \frac{e^x}{1+e^x} < 1$ toujours. 12. **Conclusion** : La valeur $\frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1.5849$ est supérieure à 1, donc il n'existe pas de $c$ dans $[0, \ln 2]$ tel que $f(c) = \frac{\ln 3}{\ln 2}$. Cela signifie que le théorème de la moyenne s'applique mais $f(c)$ doit être dans l'intervalle des valeurs de $f$ sur $[0, \ln 2]$. 13. **Calcul des valeurs extrêmes de $f$ sur $[0, \ln 2]$** : $$f(0) = \frac{e^0}{1+e^0} = \frac{1}{2} = 0.5$$ $$f(\ln 2) = \frac{2}{1+2} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$ 14. **Valeur moyenne de $f$ sur $[0, \ln 2]$** : $$\frac{1}{\ln 2} \int_0^{\ln 2} f(x) \, dx = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1.5849$$ Cette valeur est hors de l'intervalle $[0.5, 0.6667]$, donc il y a une erreur dans l'interprétation. 15. **Recalcul de l'intégrale** : Reprenons le changement de variable : $$u = 1 + e^x \Rightarrow du = e^x dx$$ Donc $$\int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int_{u=1}^{u=1+2} \frac{1}{u} du = \ln(3) - \ln(1) = \ln 3$$ 16. **Calcul de la moyenne** : $$\frac{1}{\ln 2} \int_0^{\ln 2} f(x) dx = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1.5849$$ Mais $f(x)$ est toujours inférieur à 1, donc la moyenne ne peut pas être supérieure à 1. 17. **Erreur dans le changement de variable** : Le changement de variable $du = e^x dx$ implique que $dx = \frac{du}{e^x} = \frac{du}{u-1}$, donc $$\int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int_1^3 \frac{u-1}{u} \cdot \frac{du}{u-1} = \int_1^3 \frac{1}{u} du = \ln 3$$ Ce qui confirme le calcul. 18. **Conclusion finale** : Le théorème de la moyenne garantit l'existence de $c$ tel que $$f(c) = \frac{1}{\ln 2} \int_0^{\ln 2} f(x) dx = \frac{\ln 3}{\ln 2}$$ Mais cette valeur est supérieure à 1, ce qui est impossible pour $f(x)$. Cela signifie que la fonction $f$ n'est pas continue ou que le théorème ne s'applique pas directement ici, ou que la moyenne est calculée autrement. **En fait, la fonction $f(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$ est strictement croissante de $0.5$ à $\frac{2}{3}$ sur $[0, \ln 2]$, donc la moyenne doit être dans cet intervalle.** **Donc la valeur correcte de l'intégrale est :** $$\int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{1+e^x} dx = \ln(1+e^{\ln 2}) - \ln(1+e^0) = \ln(1+2) - \ln(1+1) = \ln 3 - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}$$ **Donc la moyenne est :** $$\frac{1}{\ln 2} \int_0^{\ln 2} f(x) dx = \frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2}$$ 19. **Trouver $c$ tel que** $$f(c) = \frac{e^c}{1+e^c} = \frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2}$$ 20. **Résolution pour $e^c$** : $$\frac{e^c}{1+e^c} = \frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2} \Rightarrow e^c = \frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2} (1 + e^c)$$ $$e^c - \frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2} e^c = \frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2}$$ $$e^c \left(1 - \frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2}\right) = \frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2}$$ 21. **Simplification** : $$e^c = \frac{\frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2}}{1 - \frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2}} = \frac{\frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2}}{\frac{\ln 2 - \ln \frac{3}{2}}{\ln 2}} = \frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2 - \ln \frac{3}{2}}$$ 22. **Calcul de $c$** : $$c = \ln \left( \frac{\ln \frac{3}{2}}{\ln 2 - \ln \frac{3}{2}} \right)$$ 23. **Valeurs numériques approximatives** : $$\ln 2 \approx 0.6931, \quad \ln \frac{3}{2} = \ln 1.5 \approx 0.4055$$ $$e^c = \frac{0.4055}{0.6931 - 0.4055} = \frac{0.4055}{0.2876} \approx 1.41$$ $$c = \ln 1.41 \approx 0.344$$ 24. **Vérification** : $c \in [0, \ln 2]$ car $0.344 < 0.6931$. **Réponse finale :** $$c \approx 0.344$$ --- "slug":"valeur moyenne","subject":"analyse","desmos":{"latex":"y=\frac{e^x}{1+e^x}","features":{"intercepts":true,"extrema":true}},"q_count":4