1. Énoncé du problème : On considère la fonction $$f(x) = \frac{2x^2 - x + 2}{x + 1}$$. 2. Objectif : Étudier les variations de la fonction, c'est-à-dire déterminer où elle est croissante ou décroissante, puis construire son graphe. 3. Domaine de définition : La fonction est définie pour tout $x \neq -1$ car le dénominateur ne doit pas être nul. 4. Calcul de la dérivée : Utilisons la règle de dérivation d'un quotient $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ avec $$u = 2x^2 - x + 2$$ et $$v = x + 1$$. Calculons $$u' = 4x - 1$$ et $$v' = 1$$. Donc, $$f'(x) = \frac{(4x - 1)(x + 1) - (2x^2 - x + 2)(1)}{(x + 1)^2}$$ 5. Simplifions le numérateur : $$ (4x - 1)(x + 1) - (2x^2 - x + 2) = (4x^2 + 4x - x - 1) - (2x^2 - x + 2) = (4x^2 + 3x - 1) - (2x^2 - x + 2) $$ $$= 4x^2 + 3x - 1 - 2x^2 + x - 2 = (4x^2 - 2x^2) + (3x + x) + (-1 - 2) = 2x^2 + 4x - 3$$ 6. La dérivée s'écrit donc : $$f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 3}{(x + 1)^2}$$ 7. Étudions le signe de $$f'(x)$$ : Le dénominateur $$(x + 1)^2$$ est toujours positif sauf en $$x = -1$$ où la fonction n'est pas définie. Le signe de $$f'(x)$$ dépend donc du numérateur $$2x^2 + 4x - 3$$. 8. Résolvons $$2x^2 + 4x - 3 = 0$$ : Calcul du discriminant : $$\Delta = 4^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 16 + 24 = 40$$ Racines : $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2 \times 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$$ 9. Tableau de signes de $$f'(x)$$ : - Pour $$x < -1 - \frac{\sqrt{10}}{2}$$, le numérateur est positif (car coefficient dominant positif et parabole vers le haut). - Entre $$-1 - \frac{\sqrt{10}}{2}$$ et $$-1 + \frac{\sqrt{10}}{2}$$, le numérateur est négatif. - Pour $$x > -1 + \frac{\sqrt{10}}{2}$$, le numérateur est positif. 10. Conclusion sur les variations : - $$f$$ est croissante sur $$(-\infty, -1 - \frac{\sqrt{10}}{2})$$. - $$f$$ est décroissante sur $$(-1 - \frac{\sqrt{10}}{2}, -1)$$. - $$f$$ n'est pas définie en $$x = -1$$ (asymptote verticale). - $$f$$ est décroissante sur $$(-1, -1 + \frac{\sqrt{10}}{2})$$. - $$f$$ est croissante sur $$(-1 + \frac{\sqrt{10}}{2}, +\infty)$$. 11. Asymptotes : - Verticale en $$x = -1$$. - Pour l'asymptote oblique, divisons le numérateur par le dénominateur : $$\frac{2x^2 - x + 2}{x + 1} = 2x - 3 + \frac{5}{x + 1}$$ Donc asymptote oblique : $$y = 2x - 3$$. 12. Construction du graphe : - Tracer l'asymptote verticale $$x = -1$$. - Tracer l'asymptote oblique $$y = 2x - 3$$. - Étudier les variations et points critiques pour dessiner la courbe. - La fonction tend vers $$+\infty$$ ou $$-\infty$$ près de $$x = -1$$ selon le signe de $$x + 1$$. Ceci complète l'étude de la fonction et la construction de son graphe.